Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Polinômios)

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Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial

y ' ' + 4 y = t 2

y 0 = 0                 y ' 0 = 2

Passo 1

E aí, bora ver mais esse probleminha?

Vamos encontrar a solução geral, lembrando que:

y = y h +   y p

Sendo que y h é a solução homogênea e y p é a solução particular.

Vamos focar na solução homogênea primeiro, ok?

Bora lá!

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y ' ' passa a ser r 2 e y é o termo independente.

Assim: y ' ' + 4 y = t 2

Se torna:

r 2 + 4 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara r = - b ± ∆ 2 a .

Sendo que a = 1 , b = 0 e c = 4 .

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   0 2 - 4 1 4

∆   =   - 16

Perceba que o ficou negativo, mas nesse caso não tem problema. Vamos substituir na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± ∆ 2 a

r = - ( 0 ) ± - 16 2 ( 1 )

Agora, para tirar a raiz de - 16 , usaremos o número imaginário i para a raiz de - 1 :

r = ± - 1.16 2

Ficando com:

r = ± 4 i 2

r = ± 2 i

Passo 3

Como temos raízes complexas, a solução da EDO homogênea será:

y h =   e α t C 1 c o s β t +   C 2 s e n β t

Onde α = 0 e β = 2 . Então a nossa será:

y h = C 1 c o s 2 t +   C 2 s e n 2 t

Passo 4

O próximo passo é achar a solução particular, e pra isso vamos supor uma solução do tipo:

y p = A + B t + C t 2  

Substituiremos y p na EDO do nosso problema. Com isso a gente vai determinar as constantes A e B.

Primeiro vamos derivar y p :

y ' p = B + 2 C t

y ' ' p = 2 C

Passo 5

Vamos pegar nossa EDO:

y ' ' + 4 y = t 2

E vamos fazer:

y p ' ' + 4 y p = t 2

Substituindo as derivadas que acabamos de calcular.

2 C + 4 A + 4 B t + 4 C t 2 =   t 2

Repare que de um lado temos termos que estão sozinhos (sem o t ), termos que acompanha o t e termos que acompanha o t 2 . Mas do lado direito só temos o termo com t 2 .

Para manter a igualdade, só podemos ter:

2 C + 4 A = 0

B = 0

4 C =   1

Resolvendo as equações que encontramos, ficaremos com:

C =   1 4

B = 0

A = -   1 8

Então,

y p = -   1 8 + 1 4 t 2

E essa será nossa solução particular.

Passo 6

Juntando as duas soluções que encontramos, a solução da EDO será

y = y h +   y p

y =   C 1 c o s 2 t +   C 2 s e n 2 t   -   1 8 + 1 4 t 2

Passo 7

Só o que falta pra ficar show, é descobrirmos quem são as constantes C 1 e C 2 . Então, vamos aplicar a condição inicial agora:

y 0 = 0                 y ' 0 = 2

Usando a primeira:

y 0 =   C 1 cos ⁡ 0 + C 2 sen ⁡ 0 - 1 8 + 1 4 ⋅ 0 2 = 0

C 1 - 1 8 = 0

C 1 = 1 8

Então...

y = 1 8 c o s 2 t +   C 2 s e n 2 t   -   1 8 + 1 4 t 2

Passo 8

E pra usar a segunda condição temos que derivar a solução geral:

y ' = - 1 8 ( 2 ) sen ⁡ 2 t + 2 C 2 cos ⁡ 2 t + 2 4 t

y ' =   - 1 4 sen ⁡ 2 t + 2 C 2 cos ⁡ 2 t + 1 2 t

Então:

y ' 0 =   - 1 4 sen ⁡ 0 + 2 C 2 cos ⁡ 0 + 1 2 0 = 2

2 C 2 = 2

C 2 = 2 2 = 1

Nossa solução geral do PVI então é:

y = 1 8 c o s 2 t + 1 s e n 2 t   -   1 8 + 1 4 t 2

Resposta

y = 1 8 c o s 2 t + s e n 2 t   -   1 8 + 1 4 t 2