Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Polinômios)

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Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

y ' ' - y ' - 2 y = - 2 t + 4 t 2

Passo 1

E aí, tudo bem?

Esse problema foi bem direto, precisamos encontrar a solução geral da EDO. E pra começar, vamos lembrar que a solução geral EDO desse tipo é dada por:

y t = y h t + y p ( t )

Onde y h é a solução homogênea e y p é a solução particular.

Vamos primeiro fazer a homogênea, beleza?

Passo 2

Pra achar a solução homogênea, vamos resolver a EDO homogênea associada, fazendo:

y ' ' - y ' - 2 y = 0

Observando seu formato, podemos escrever assim:

r 2 - r - 2 = 0

Vamos usar Bhaskara para resolver essa parte aqui!

Passo 3

A fórmula é assim:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

No nosso caso, temos a = 1 ,   b = - 1   e   c = - 2 .

r = - - 1 ± 1 - 4 1 - 2 2 ( 1 )

r =   1 ± 9 2

r 1 = 1 + 3 2 = 2

r 2 = 1 - 3 2 =   - 1

Já que temos 2 raízes reais, nossa solução homogênea vai ter essa forma aqui:

y h t = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

A nossa então é:

y h t = C 1 e - t + C 2 e 2 t

Passo 4

Vamos agora achar nossa solução particular. Veja que do lado direito da igualdade, temos:

- 2 t + 4 t 2

Ou seja, um polinômio de 2º grau. Nada mais justo então que a nossa solução particular ser um polinômio de 2º grau também, não acha?

Vamos chutar um:

y p = A t 2 + B t + C

Como essa solução não está presente na solução homogênea, podemos utilizar essa mesmo, basta acharmos os coeficientes A ,   B   e   C .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de y p :

y p = A t 2 + B t + C

y p ' = 2 A t + B

y p ' ' = 2 A

Show! Agora, substituímos isso na nossa EDO!

Passo 6

A EDO é:

y ' ' - y ' - 2 y = - 2 t + 4 t 2

y p ' ' - y p ' - 2 y p = - 2 t + 4 t 2

Substituindo...

2 A - 2 A t + B - 2 A t 2 + B t + C = - 2 t + 4 t 2

Desenvolvendo...

2 A - 2 A t - B - 2 A t 2 - 2 B t - 2 C = - 2 t + 4 t 2

Reagrupando, ficamos com:

t - 2 A - 2 B + t 2 - 2 A + 2 A - B - 2 C = - 2 t + 4 t 2

Igualando os termos correspondentes de cada lado, temos:

- 2 A - 2 B = - 2 - 2 A = 4 2 A - B - 2 C = 0

Passo 7

Vamos resolver esse sistema...

Da segunda, tiramos que:

- 2 A = 4 → A = - 2

Substituindo na primeira:

- 2 - 2 - 2 B = - 2

- 2 B = - 2 - 4

- 2 B = - 6

B = 3

E substituindo A   e   B na terceira, encontramos C :

2 - 2 - 3 - 2 C = 0

- 2 C = 7

C = - 7 2

Passo 8

Substituindo esses valores na nossa solução particular, achamos:

y p = A t 2 + B t + C

y p = - 2 t 2 + 3 t - 7 2

E como a solução geral é:

y t = y h t + y p ( t )

Juntando as duas, encontramos:

y t = C 1 e - t + C 2 e 2 t - 2 t 2 + 3 t - 7 2

E acabamos por aqui😊

Resposta

y t = C 1 e - t + C 2 e 2 t - 2 t 2 + 3 t - 7 2