Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Polinômios)

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Enunciado

Resolva a equação diferencial

y ' ' + 2 y ' + 5 y =   1 ,       0 ≤ t ≤   π / 2   0 ,                       t >   π / 2

com condições iniciais y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .

Passo 1

Opa! Assutou com essas chaves ali? Fica tranquilo, vem comigo!

A solução geral será dada por :

y = y h + y p

Onde y h é a soluçõa homogênea e y p é a solução particular.

Primeiro, vamos encontrar a equação característica para a parte homogênea da função:

r 2 + 2 r + 5 = 0

Pra resolver isso a gente usa a boa e velha fórmula de Bhaskara:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Sendo que aqui, a = 1 ,   b = 2   e   c = 5 :

r = - 2 ± 2 2 - 4 1 5 2 1 = - 1 ± 2 i

Passo 2

Temos duas raízes complexas, e a solução homogênea, nesse caso é da forma:

y h = c 1 e α t cos ⁡ β t + c 2 e α t sen ⁡ β t

Onde α = - 1 (parte real) e β = 2 (parte imaginária), no nosso caso. Então:

y h = c 1 e - t cos ⁡ 2 t + c 2 e - t sen ⁡ 2 t

Essa é a solução homogênea, que é a solução para o intervalo t > π 2 😊

Passo 3

Vamos encontrar a soluçã particular agora.

Vamos focar nessa aqui então, no intervalo 0 ≤ t ≤ π 2 :

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 1

Vamos chutar uma solução assim:

y p = A

Isso porque do lado direito temos apenas um termo independente.

Aí temos:

y p ' =   0

y p ' ' = 0

Colocando essas expressões na EDO, obtemos:

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 1

0 + 0 + 5 A = 1

A = 1 5

A solução particular então é:

y p = 1 5

Passo 4

E como a solução geral é dada por :

y = y c + y p

Juntando as duas, temos:

y = c 1 e - t cos ⁡ 2 t + c 2 e - t sen ⁡ 2 t + 1 5

Passo 5

Agora nos falta encontrar o valor das contantes c 1 e c 2 . Aplicando as condições iniciais dadas:

y 0 = 0

y ' 0 = 0

Determinando a primeira derivada da solução geral:

y ' t = - 2 c 1 e - t sen ⁡ 2 t - c 2 e - t cos ⁡ 2 t - c 2 e - t sen ⁡ 2 t + 2 c 2 e - t cos ⁡ 2 t

Aplicando a condição dada:

y ' t = - 2 c 1 e 0 sen ⁡ 0 - c 2 e 0 cos ⁡ 0 - c 2 e 0 sen ⁡ 0 + 2 c 2 e 0 cos ⁡ 0

c 1 = 0 - 1 5

c 1 = - 1 5

c 2 = 1 2 c 1

Substituindo c 1 :

c 2 = - 1 10

E assim, achamos as constantes.

Então... a solução geral no intervalo 0 ≤ t ≤ π 2 será:

y = - 1 5 e - t cos ⁡ 2 t - 1 10 e - t sen ⁡ 2 t + 1 5

Resposta

Para   0 ≤ t ≤   π / 2 :

y = - 1 5 e - t cos ⁡ 2 t - 1 10 e - t sen ⁡ 2 t + 1 5

Para t > π 2 :

y = c 1 e - t cos ⁡ 2 t + c 2 e - t sen ⁡ 2 t