Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Polinômios)

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Enunciado

Resolva a equação diferencial:

y ' ' - 3 y = 2 t 2 + t

Passo 1

E aí, pronto pra mais uma?

Queremos encontrar a solução geral, lembrando que:

y = y h +   y p

Sendo que y h é a solução homogênea e y p é a solução particular.

Vamos fazer a solução homogênea primeiro, depois a gente ver a particular, show de bola?

Passo 2

Bom, para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Que aqui é essa:

r 2 - 3 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara r = - b ± ∆ 2 a .

Sendo que a = 1 , b = 0 e c = - 3 .

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   0 - 4 ( 1 ) ( - 3 )

Δ = 12

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± ∆ 2 a

r 1 = 0 + 12 2 = 2 3 2 = 3

r 2 = - 2 3 2 = - 3

Passo 3

Como temos duas raízes reais, a solução da EDO homogênea será:

y h =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

y h = C 1 e 3 t + C 2 e - 3 t

Beleza, a parte homogênea já foi, vamos para a solução particular agora!

Passo 4

Olhando para nossa EDO:

y ' ' - 3 y = 2 t 2 + t

Vemos que do lado direito temos um polinômio de 2º grau, logo, nada mais justo que chutarmos uma solução que seja um polinômio de 2º grau também. Assim:

y p = A t 2 + B t + C

Como essa solução não está presente na parte homogênea, podemos usar essa mesmo! Onde A ,   B   e   C são os coeficientes que a gente vai determinar😉

Passo 5

Vamos derivar nossa y p :

y p ' = 2 A t + B

y p ' ' = 2 A

E agora a gente vai substituir na EDO...

y ' ' - 3 y = 2 t 2 + t

y p ' ' - 3 y p = 2 t 2 + t

Substituindo:

2 A - 3 A t 2 + B t + C = 2 t 2 + t

2 A - 3 A t 2 - 3 B t - 3 C = 2 t 2 + t

Passo 6

Igualando os termos correspondentes:

- 3 A = 2 → A = - 2 3

- 3 B = 1 → B = - 1 3

2 A - 3 C = 0

2 - 2 3 - 3 C = 0

- 4 3 - 3 C = 0

- 3 C = 4 3

C = 4 3 ⋅ 1 3

C = 4 9

Passo 7

A solução particular então é:

y p = A t 2 + B t + C

y p = - 2 3 t 2 - 1 3 t + 4 9

E a solução geral, que é a soma da homogênea com a particular:

y = y h +   y p

y = C 1 e 3 t + C 2 e - 3 t - 2 3 t 2 - 1 3 t + 4 9

E pronto! Agora terminamos😊

Resposta

y = C 1 e 3 t + C 2 e - 3 t - 2 3 t 2 - 1 3 t + 4 9