Exercícios Resolvidos de Equação da Energia e Bernoulli

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Enunciado

Um bocal foi projetado para acelerar o escoamento de um fluido da velocidade na entrada V1 para velocidade V2 na saída de modo linear. Assim a velocidade pode ser expressa por V = a x + b com a e b constantes. Pedem-se:

2.2. Adote agora uma nova hipótese de que o escoamento é transitório. Nestas condições considere que ∂ V 1 ∂ t = 20   m / s ² , e que ∂ V 2 ∂ t = 60   m / s ² no instante t 0 em que V1 = 10 m/s, e em que V2 = 25 m/s. Determine novamente as acelerações locais, convectiva e total nos pontos x1 e x2

Passo 1

Partindo do pressuposto que o item 2.1 foi visualizado no decorrer do desenvolvimento, a aceleração na direção x é dada por:

a x = ∂ V ∂ t + V ∂ V ∂ x

Portanto, temos na prática que o perfil de velocidade é:

V = a t x + b ( t )

Passo 2

Para um tempo t qualquer, podemos ter o que foi dado no enunciado:

V 1 = 10   m / s   para x = 0

V 2 = 25   m / s para x = 1

Desta forma, a gente tem um sistema de equações que podem ser solucionadas tal que:

10 = 0 + b t o

25 = a t 0 + b ( t o )

b t o = 10

a t o = 15

Portanto, V = 15 t o x + b ( t o )

Passo 3

Também temos que em t = t o

∂ V 1 ∂ t = 20   m / s ²

∂ V 2 ∂ t = 60   m / s ²

As quais são as acelerações locais em t = t o

A aceleração convectiva em x = 0 é:

V ∂ V ∂ x = a x + b a = 15 × 0 + 10 15 = 150 m s 2

E em x = 1 , temos:

V ∂ V ∂ x = 15 + 10 15 = 375   m / s ²

A aceleração total do fluido em t = 0 é:

a x = ∂ V ∂ t + V ∂ V ∂ x = 20 + 150 = 170 m s 2 em x = 0

a x = ∂ V ∂ t + V ∂ V ∂ x = 6 0 + 375 = 435 m s 2 em x = 1

Resposta

Acelerações locais:

∂ V 1 ∂ t = 20   m / s ²

∂ V 2 ∂ t = 60   m / s ²

A aceleração convectiva em x = 0 é:

V ∂ V ∂ x = a x + b a = 15 × 0 + 10 15 = 150 m s 2

E em x = 1 , temos:

V ∂ V ∂ x = 15 + 10 15 = 375   m / s ²

A aceleração total do fluido em t = 0 é:

a x = ∂ V ∂ t + V ∂ V ∂ x = 20 + 150 = 170 m s 2 em x = 0

a x = ∂ V ∂ t + V ∂ V ∂ x = 60 + 375 = 435 m s 2 em x = 1

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