Exercícios Resolvidos de Equação da Energia e Bernoulli

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Enunciado

A bomba da figura abaixo cria um jato d’água a 20 ° C , orientado para atingir uma distância horizontal máxima. As perdas por atrito do sistema são de 6,5   m . O jato pode ser aproximado pela trajetória de partículas sem atrito. Que potência a bomba deve entregar à água?

Passo 1

Pra resolver esse exercício, precisamos da equação de energia.

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h p - h b + h t

E para aplicar essa equação, vamos ter que definir o volume de controle, com limites onde temos bastante informações.

Então vamos posicionar o nosso ponto 1 de controle na superfície do reservatório e o ponto 2 na saída do tubo, no início do lançamento.

No ponto 1, consideramos:

V 1 = 0

p 1 = p a t m

z 1 = 15   m

Já no ponto 2, vamos ter:

V 2 =   ?

p 2 = p a t m

z 2 = 0

∆ S z = 25   m

O nosso z 2 = 0 , porque colocamos a origem do nosso eixo z nessa altura ok?

E já sacamos que vamos ter que determinar aquela velocidade ali que tá faltando.

Passo 2

O problema aqui é você sacar que pra alcançar a distância horizontal máxima a inclinação do lançamento deve ser 45 ° . Isso não é óbvio, mas como você está fazendo esse exercício, já vai saber na próxima vez que precisar disso.

E com essa informação, vamos usar Torricelli para saber a velocidade do jato de água no inicio do lançamento.

V z 2 = V 0 2 z - 2 a Δ S z

Na altura máxima a velocidade em z é zero (já que ele para de subir e começa a descer), assim, temos que:

V 0 z = 2 a Δ S

Aí a gente tem a componente da velocidade no eixo z, que é igual a velocidade total vezes o sem de θ , que a gente definiu como 45°. E a aceleração no eixo z é a gravidade mesmo.

V 0 . s e n θ = 2 a Δ S z = 2 g 25

V 0 = 2   . 9,8   . 25 2 / 2 = 31,30   m / s

Passo 3

Agora que temos a velocidade em 2, podemos voltar para a equação da energia.

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h p - h b + h t

Que com o que a gente tem até agora:

p a t m ρ g + 0 + 15 = p a t m ρ g + 31,30 2 2 g + 0 + h p - h b

Onde h p = 6,5   m , as perdas por atrito.

A gente pode, então, cortar aqueles termos iguais e reorganizar um pouco a galera:

15 = 31,30 2 2 g + 6,5 - h b

Pra achar:

h b = 50 + 6,5 - 1 5

h b = 4 1 , 5   m

Como queremos a potência da bomba:

P = ρ . g . Q . h b = ρ . g . V . A . h b = 998   .   9,8   .   31,30   . π . 0,05 2 4 . 4 1 , 5

P = 2 4932 , 1   W

Resposta

P = 2 4,9   k W

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