Exercícios Resolvidos de Equações de Maxwell

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Enunciado

Use os operadores diferenciais e os teoremas da divergência e de stokes para passar as equacões de Maxwell abaixo para a forma diferencial. ∮ B → . d A → = 0 ∮ E → . d l → = - d ϕ B d t  

Passo 1

Precisamos chegar a forma diferencial. Um bom caminho é pensar que devemos chegar em uma derivada.

Para a primeira equação, a gente pode usar o teorema da divergência:

∮ B → . d A → = ∫ ∇ → . B →   d V

Lembrando que pode ser usado para qualquer vetor, mas aqui vamos usar para o campo magnético que é o que nos interessa.

Como:

∮ B → . d A → = 0

Temos que :

∫ ∇ → . B →   d V = 0

Derivando os dois lados teremos enfim:

∇ → . B → = 0

Passo 2

Para a outra equacão, a gente vai seguir uma idéia parecida, mas antes precisamos colocar a equação na forma integral. Então vamos lembrar que o fluxo magnético é:

ϕ B = ∫ B → . d A →

Assim, a gente substitui na equação e chegamos na forma integral:

∮ E → . d l → = - d d t ∫ B → . d A →  

Putz, e agora? De um lado temos o integrante   d l → e do outro o integrante   d A → . Como a gente deriva isso?

Fica tranquilo, podemos usar o teorema de STOKES para resolver essa parada.

Passo 3

O teorema de stokes diz que:

∮ E → . d l → = ∫ ∇ → × E → .   d A →

Lembrando que esse teorema serve para QUALQUER VETOR, mas no nosso caso interessa usarmos para o campo elétrico.

Se a gente substituir na equação da forma integral, encontraremos algo assim:

∫ ∇ → × E → .   d A → = - d d t ∫ B → . d A →  

Golaço! Conseguimos colocar os dois lados da equação com o mesmo integrante. Agora precisamos derivar, mas primeiro passaremos o d d t para dentro da integral.

∫ ∇ → × E → .   d A → = - ∫ ∂ B → ∂ t . d A →  

Derivando os dois lados da equação, teremos enfim:

∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t

Resposta

∇ → . B → = 0

∇ → × E → =   -   ∂ B → ∂ t

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