Exercícios Resolvidos de Equações de Maxwell

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Enunciado

Usando a identidade vetorial:

∇ → ×   ∇ → × F → = - ∇ 2   F → + ∇ → (   ∇ → . F → )  

Mostre que o campo magnético satisfaz a equação da onda.

Passo 1

Primeiro, bora substituir o campo magnético nessa identidade vetorial, que vai ficar assim:

∇ → ×   ∇ → × B → = - ∇ 2   B → + ∇ → (   ∇ → . B → )  

Se a gente analisar legal essa equação, vamos ver algumas equações de Maxwell que podemos substituir, sendo elas:

∇ → . B → = 0

E:

∇ → × B → = μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t

Substituindo na equação teremos algo assim:

∇ → × (   μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t )   = - ∇ 2   B →

Passo 2

Vamos arrumar essa equação agora. Primeiro, podemos inverter a ordem do rotacional pelas constantes e pela derivada no produto vetorial. A equação vai ficar com essa cara:

μ 0 ε 0 ∂ ∂ t   ( ∇ → × E → )   = - ∇ 2   B →

Agora se liga, outra equação de Maxwell na forma diferencial apareceu com essa arrumação.

Essa aqui:

∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t

Substituindo na nossa equação:

μ 0 ε 0 ∂ ∂ t     ( - ∂ B → ∂ t   )   = - ∇ 2   B →

Arrumando melhor:

- μ 0 ε 0   ( ∂ 2 B → ∂ t 2 )   = - ∇ 2   B →

E arrumando para ficar com a cara da equação da onda:

- μ 0 ε 0   ∂ 2 B → ∂ t 2 + ∇ 2   B → = 0

Pronto, chegamos na equação da onda. Agora a gente pode arrumar isso um pouco melhor, lembrando que:

μ 0 ε 0 = 1 c 2

E enfim:

- 1 c 2   ∂ 2 B → ∂ t 2 + ∇ 2   B → = 0

Resposta

- 1 c 2   ∂ 2 B → ∂ t 2 + ∇ 2   B → = 0

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