Exercícios Resolvidos de Equações de Maxwell

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Enunciado

Use os operadores diferenciais e os teoremas de Gauss e Stokes para passar as leis de Maxwell abaixo para a forma diferencial. (Qint ≡ Qsaldo)

(a )   ∮ E → . d A → = Q i n t ε 0 onde Q i n t = ∫ ρ d V e ρ = d q d V

(b ) ∮ B → . d l → = μ 0 ∫ j → . d A → + μ 0 ε 0   ∫ ∂ E → ∂ t . d A →

Passo 1

Nessa questão vamos ter que gastar os nossos conhecimentos de cálculo para resolve-las.

Podemos relacionar as seguintes equações

∮ E → . d A → = Q i n t ε 0 , Q i n t = ∫ ρ d V

E chegaremos na seguinte fórmula

∮ E → . d A → = ∫ ρ ε 0 d V

Mas objetivo da questão é que cheguemos na forma diferencial das leis de Maxwell e para isso precisamos dos teoremas de Gauss e Stokes.

Nesse caso podemos usar o teorema de Gauss, que é dado pela fórmula

∮ E → . d A → = ∫ ( ∇ . E → ) d V

Relacionando as duas fórmulas que temos, encontramos que

∫ ( ∇ . E → ) d V = ∫ ρ ε 0 d V

Podemos perceber que os dois fatores são integrais do volume, podemos escrever isso da seguinte forma

∫ ( ∇ . E → ) d V - ∫ ρ ε 0 d V = 0

∫ ( ∇ . E → - ρ ε 0 ) d V = 0

Agora pensa comigo, como o nosso volume é continuo e conexo, o único fator que pode zerar essa integral é o valor dentro do parênteses, ou seja, quando

∇ . E → - ρ ε 0 = 0

Por fim

∇ . E → = ρ ε 0

Passo 2

Agora devemos passar a seguinte fórmula para a forma diferencial, e como já sabemos, vamos gastar nossos conhecimentos de cálculo para isso

∮ B → . d l → = μ 0 ∫ j → . d A → + μ 0 ε 0   ∫ ∂ E → ∂ t . d A →

Nesse caso temos que lembrar que do teorema de Stokes temos a seguinte relação

∮ B → . d l → = ∫ ( ∇ x B → ) d A →

Relacionando o nosso teorema de Stokes com a fórmula de Maxwell teremos que

∫ ( ∇ x B → ) d A → = μ 0 ∫ j → . d A → + μ 0 ε 0   ∫ ∂ E → ∂ t . d A →

Perceba que assim como na lei de Gauss todos os termos ficaram em função do volume, no teorema de Stokes todos ficaram em função da área, logo podemos isolar todos de um lado e junta-los da seguinte forma

∫ ( ∇ x B → ) d A → - μ 0 ∫ j → . d A → - μ 0 ε 0   ∫ ∂ E → ∂ t . d A → = 0

∫ ( ∇ x B → - μ 0 . j → - μ 0 ε 0 . ∂ E → ∂ t ) d A → = 0

Agora pensa comigo, se d A → é uma superfície elementos simplesmente convexa e não nula, significa que apenas o tema dentro do parênteses pode ser capaz de zerar essa equação, ou seja,

∇ x B → - μ 0 . j → - μ 0 ε 0 . ∂ E → ∂ t = 0

∇ x B → = μ 0 . j → + μ 0 ε 0 . ∂ E → ∂ t

Resposta

a) ∇ . E → = ρ ε 0

b) ∇ x B → = μ 0 . j → + μ 0 ε 0 . ∂ E → ∂ t

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