Exercícios Resolvidos de Equações de Maxwell

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Enunciado

O campo elétrico de uma onda eletromagnética no vácuo é dado por E → = E x i ^ + E y j ^ com

E x = - E 1 cos ⁡ ω t - β x + y   ,

E y = E 2 cos ⁡ ω t - β x + y   ,

Onde E 1 , E 2 , β e ω são constantes positivas.

O valor máximo atingido pelo módulo do campo elétrico E → = E x 2 + E y 2 é E 0 .

  1. Use a forma diferencial da lei de Gauss para determinar E 1 e E 2 em termos de E 0 .
  2. Sabendo que o campo elétrico satisfaz a equação de onda tridimensional, determine a constante β em termos da velocidade da luz no vácuo c e ω .
  3. Use a forma diferencial da lei de Faraday para determinar o campo magnético associado ao campo elétrico dado em termos de E 0 , ω e da velocidade da luz no vácuo c .

Passo 1

Letra a)

A lei de Gauss diz que:

∇ → ∙ E → = ρ ϵ 0

Onde ∇ → ∙ E → é o divergente do campo elétrico, que é dado por:

∇ → ∙ E → = ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z

Temos então:

∂ E x ∂ x = - β E 1 sen ⁡ ω t - β x + y

∂ E y ∂ y = β E 2 sen ⁡ ω t - β x + y

Substituindo:

- β E 1 sen ⁡ ω t - β x + y + β E 2 sen ⁡ ω t - β x + y = ρ ϵ 0

sen ⁡ ω t - β x + y ∙ β E 2 - β E 1 = ρ ϵ 0

Porém, como a onda está se propagando no vácuo, não há nenhuma carga e por isso ρ = 0 . Como a função seno oscila, não podendo ser sempre zero, teremos que:

β E 2 - β E 1 = 0

E 2 = E 1

Passo 2

O valor máximo atingido pelo módulo do campo elétrico é atingido quando E x = ± E 1 e E y = ± E 2 , e nesse caso:

E 0 = E 1 2 + E 2 2 = 2 E 1 2 = 2 ∙ E 1

E 2 = E 1 = E 0 2

Passo 3

Letra b)

A equação tridimensional da onda neste caso vai ser:

∂ 2 E → ∂ x 2 + ∂ 2 E → ∂ y 2 + ∂ 2 E → ∂ z 2 = 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t 2

Vamos verificar cada componente. Primeiro a componente x .

∂ 2 E x ∂ x 2 + ∂ 2 E x ∂ y 2 = β 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y + β 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y =

= 1 c 2 ∂ 2 E x ∂ t 2 = ω 2 E 1 c 2 cos ⁡ ω t - β x + y

2 β 2 = ω 2 c 2     →     β = 1 2 ∙ ω c

A componente y vai nos dar o mesmo resultado:

∂ 2 E y ∂ x 2 + ∂ 2 E y ∂ y 2 = - β 2 E 2 cos ⁡ ω t - β x + y - β 2 E 2 cos ⁡ ω t - β x + y =

= 1 c 2 ∂ 2 E y ∂ t 2 = - ω 2 E 2 c 2 cos ⁡ ω t - β x + y

2 β 2 = ω 2 c 2     →     β = 1 2 ∙ ω c

Passo 4

Letra c)

A forma diferencial da Lei de Faraday nos diz que:

∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t

Para lembrar como fazer o rotacional, podemos imaginá-lo como um determinante:

∇ → × E → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z E x E y E z

Onde vamos substituir logo que E z = 0 e que E x e E y não dependem de z . Isso vai nos dar:

∇ → × E → = ∂ E y ∂ x - ∂ E x ∂ y k ^ = β E 2 sen ⁡ ω t - β x + y + β E 1 sen ⁡ ω t - β x + y k ^

Como E 1 = E 2 = E 0 2 , ficamos com

2 β E 0 2 ∙ sen ⁡ ω t - β x + y k ^ = - ∂ B → ∂ t

As componentes em x e em y de B → são constantes no tempo, e podem ser consideradas zero (pois B → é perpendicular a E → , que se encontra no plano x y ).

Assim, integrando a componente em z no tempo

B → = 2 β E 0 2 ω ∙ cos ⁡ ω t - β x + y   k ^

Do primeiro item, temos que:

β = 1 2 ∙ ω c

B → = E 0 c ∙ cos ⁡ ω t - β x + y   k ^

Resposta

Letra a)

E 2 = E 1 = E 0 2

Letra b)

β = 1 2 ∙ ω c

Letra c)

B → = E 0 c ∙ cos ⁡ ω t - β x + y   k ^

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