Exercícios Resolvidos de Escoamento em Placa Plana

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Enunciado

Uma placa plana de 1   m m de espessura feita de chumbo (com propriedades constantes e dadas pelo valor dessas a 300 K ) está com uma de suas faces sob uma chama que fornece a ela 10000   W / m 2 . A placa é quadrada com 1   m de lado. Pela outra face, uma corrente de ar a 300 K escoa paralelamente a 200   m / s . O sistema está a 300   K .

Se for possível, em quanto tempo a temperatura vai atingir 500   K ? Se não for possível atingir 500   K , qual é a temperatura máxima da placa?

Assuma modelo de parâmetros concentrados para resolver o problema.

As propriedades termofísicas do ar são dadas na tabela.

Passo 1

Assumindo o modelo de parâmetros concentrados, consideramos que a temperatura no interior da placa é uniforme.

Fazendo o balando de energia, temos que:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g e r a = E ˙ a c u m u l a

Como o corpo não gera calor por si só, a gente fica com:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = E ˙ a c u m u l a

Onde o calor entra por conta do fluxo térmico da chama, e o calor sai por conta da convecção entre a placa e o ar. Dessa forma:

q ' ' . A - h . A . T t - T ∞ = ρ . V . c p . d T ( t ) d t

Resolvendo a equação acima, teremos:

q ' ' . A - h . A . θ t = ρ . V . c p . d θ ( t ) d t

Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida pelo método do fator integrante.

ρ . V . c p . d θ ( t ) d t + h . A . θ t = q ' ' . A

d θ ( t ) d t + h . A ρ . V . c p . θ t = q ' ' . A ρ . V . c p

O fator integrante é dado por:

I = exp ⁡ ∫ h . A ρ . V . c p d t

Pra simplificar a equação, vou chamar todo o termo constante dentro da integral de γ . Dessa forma:

I = exp ⁡ ∫ γ d t = exp ⁡ γ ∫ d t = exp ⁡ γ . t

Assim, a nossa equação diferencial terá a seguinte cara:

d θ t d t . exp ⁡ γ . t + h . A ρ . V . c p . θ t . exp ⁡ γ . t = q ' ' . A ρ . V . c p . exp ⁡ γ . t

d d t θ t . exp ⁡ γ . t = q ' ' . A ρ . V . c p . exp ⁡ γ . t

θ t . exp ⁡ γ . t = q ' ' . A ρ . V . c p . ∫ 0 t exp ⁡ γ . t . d t

θ t . exp ⁡ γ . t = q ' ' . A ρ . V . c p . exp ⁡ γ . t γ + C

Onde C é uma constante qualquer. Reorganizando a equação e substituindo a expressão de γ :

θ t = q ' ' . A ρ . V . c p . 1 γ + C . exp ⁡ - γ . t

θ t = q ' ' h + C . exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

Vamos determinar essa constante mais à frente usando a condição inicial do problema, quando formos substituir os valores.

Pra seguir em frente, precisamos calcular o coeficiente convectivo.

Passo 2

Antes de calcular o coeficiente convectivo, precisamos das propriedades do ar. Como a temperatura da placa irá variar entre 300   K e 500   K , vamos usar a média dessas temperaturas pra calcular a temperatura de filme. Assim:

T f = T s + T ∞ 2 = 400 + 300 2 → T f = 350   K

Assim, de acordo com a tabela A.4 do Incropera:

P r = 0,7

k a r = 0,03   W / ( m . K )

υ = 20,92 × 10 - 6   m 2 / s

Para o chumbo, considerando a temperatura de 300   K , teremos:

ρ = 11340   k g / m 3

c p = 129   J / ( k g . K )

Passo 3

Esse é um problema de convecção sobre uma placa plana. Assim, o número de Reynolds será:

R e L = u ∞ L υ = 200 × 1 20,92 × 10 - 6 = 9,56 × 10 6 > R e x , c = 5 × 10 5

Logo, como temos escoamento turbulento, a correlação mais adequada para o número de Nusselt será:

N u - L = 0,037 . R e 4 / 5 . P r 1 / 3

N u - L = 0,037 × 9,56 × 10 6 4 / 5 × 0,7 1 / 3

N u - L = 12616

O coeficiente convectivo será:

h - = N u - L . k L = 12616 × 0,03 1 → h - = 378,5   W / ( m 2 . K )

Passo 4

Voltando à expressão que encontramos no Passo 1:

θ t = q ' ' h + C . exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

Aplicando a condição inicial de que, para t = 0 , T 0 = 300   K , teremos:

T 0 - T ∞ = q ' ' h + C . exp ⁡ - h . A . 0 ρ . V . c p

T 0 - T ∞ = q ' ' h + C

Substituindo os valores:

300 - 300 = 10000 378,5 + C

C = - 26,42

Passo 5

Como queremos calcular o tempo necessário para que a placa atinja 500   K , vamos reorganizar a equação:

θ t = q ' ' h + C . exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

t = - ρ . V . c p h . A . ln ⁡ T t - T ∞ - q ' ' / h C

Substituindo os valores:

t = - 11340 × 1 2 × 0,001 × 123 378,5 × 1 2 × ln ⁡ 500 - 300 - 26,42 - 26,42

O termo no interior do logaritmo será negativo. Como isso não pode ocorrer, significa que a temperatura da placa nunca chegará a 500   K .

Passo 6

A temperatura máxima da placa será dada para t → ∞ . Assim:

θ t = q ' ' h + C . exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

lim t → ∞ ⁡ θ t = q ' ' h

T m á x - T ∞ = q ' ' h

T m á x = T ∞ + q ' ' h = 300 + 10000 378,5

Resposta

A temperatura da placa nunca chegará a 500   K .

T m á x = 326,42   K

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