Exercícios Resolvidos de Escoamento em Placa Plana

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Enunciado

Uma placa plana, com largura de 1   m , é mantida a uma temperatura superficial uniforme T s = 150 ° C pelo uso de módulos retangulares geradores de calor, com espessura a = 10   m m e comprimento b = 50   m m , que são controlados independentemente. Cada módulo encontra-se isolado de seus vizinhos, bem como em sua superfície inferior.

Ar atmosférico a 25 ° C escoa sobrea a superfície da placa a uma velocidade de 30   m / s . As propriedades termofísicas dos módulos são k = 5,2   W / ( m . K ) , c p = 320   J / ( k g . K ) e ρ = 2300   k g / m 3 .

a Determine a geração de energia necessária, q ˙   W / m 3 , em um módulo posicionado a uma distância de 700   m m da aresta frontal.

b Determine a temperatura máxima T m á x neste módulo de geração.

Passo 1

a Determine a geração de energia necessária, q ˙   W / m 3 , em um módulo posicionado a uma distância de 700   m m da aresta frontal.

Vamos nessa! Queremos encontrar a geração de energia , q ˙   W / m 3 , para isso considerando o balanço de energia, temos:

q ' ' c o n v = q ' ' g e r a ç ã o

Sabendo que:

q ' ' c o n v = h - T s - T ∞ e q ' ' g e r a ç ã o = q ˙ . a

Substituindo, as expressões a cima, podemos calcular q ˙ :

q ˙ = h - T s - T ∞ a

Passo 2

Agora, que sabemos como calcular q ˙ precisamos achar o coeficiente médio de convecção ( h - ):

O problema nos deu as propriedades do módulo, mas não nos deu as propriedades do ar. Assim, usando a temperatura de filme como referência, temos que:

T f = T s + T ∞ 2 = 150 + 25 2 → T f = 87,5 ° C = 360,5   K

Sabendo a temperatura de filme, podemos achar as propriedades do ar.

De acordo com a tabela A.4 do Incropera, temos que:

k f = 0,0308   W / ( m . K )

υ = 22,07 . 10 - 6   m 2 / s

P r = 0,698

Passo 3

Com as propriedades dos fluidos em mãos, podemos calcular o número de Reynolds:

R e L = u ∞ L υ

Como estamos interessados no módulo a 700   m m da aresta frontal, L = 700   m m = 0,7   m . Dessa forma:

R e L = 30.0,7 22,07 . 10 - 6 → R e L = 9,515 × 10 5

Opa! R e L > 5 × 10 5 . O escoamento não é laminar nessa região!

Passo 4

A questão agora é a seguinte! Como estamos interessados em calcular a taxa de transferência de calor do módulo localizado a 700   m m da aresta frontal da placa, não é uma boa usarmos a expressão para o número de Nusselt médio, porque ele vai nos dar o coeficiente convectivo médio ao longo de todos os 700   m m .

Nesse caso, o coeficiente convectivo médio desse módulo que estamos interessados vai ser aproximadamente igual ao coeficiente convectivo local no centro desse módulo.

h - ≅ h x

Então, vamos utilizar o número de Nusselt local N u x no centro do módulo.

Já calculamos o número de Reynold para L = 0,7   m , mas agora estamos interessados em uma nova posição, no centro do módulo que tem comprimento b = 50   m m = 0,05   m .

Dessa forma, vamos calcular o novo número de Reynolds, agora para L ' = L + b / 2 :

R e = V L ' υ = 30   . 0,7 + 0,05 2 22,07 × 10 - 6 → R e = 9,855 . 10 5

Como sabemos que o escoamento é turbulento em toda placa, vamos usar a seguinte correlação:

N u x = 0,0296 . R e x 4 / 5 . P r 1 / 3

Substituindo os valores:

N u x = 0,0296 . 9,855 . 10 5 4 / 5 . 0,698 1 / 3

N u x = 1637

Passo 5

O coeficiente convectivo médio no módulo será, então:

h - ≅ h x = N u x . k f x

Substituindo os valores:

h - = 1637.0,0308 0,725 → h - = 69,5   W / ( m 2 . K )

Passo 6

Agora que achamos h - finalmente temos todas as variáveis necessárias pra calcular a geração de energia necessária ( q ˙ ) , que será:

q ˙ = h - T s - T ∞ a = 69,5 . 150 - 25 0,01

q ˙ = 8,7.10 5 W / m 3

Passo 7

b Determine a temperatura máxima T m á x neste módulo de geração.

O fluxo de energia gerada no módulo deve ser igual ao fluxo de calor por condução no mesmo.

Partindo do princípio que a energia é gerada no centro do módulo, a temperatura será máxima neste mesmo ponto, a uma distância a / 2 da superfície do módulo. Logo:

k . T m á x - T s a / 2 = q ˙ . a

Reorganizando a equação:

T m á x = T s + q ˙ a 2 2 k

Substituindo os valores:

T m á x = 150 + 8,7 . 10 5 . 0,01 2 2.5,2

T m á x = 158,4 ° C

Resposta

a

q ˙ = 8,7.10 5 W / m 3

b

T m á x = 158,4 ° C

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