Exercícios Resolvidos de Estabilidade

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Enunciado

(Adaptada) Considere um cone circular reto uniforme de densidade d   =   0,9 , flutuando com seu vértice para baixo na água ( d   =   1 ). O raio da base é R e a altura do cone é H . Calcule G M e verifique se esse cone é estável para a altura   h submersa h   =   0,8 H .

Dados: R   =   0,5   m e H   =   1,2   m .

Passo 1

Temos um cone flutuando e ele está invertido:

Para calcular GM:

G M = K B - K G + B M

Vamos começar analisando o centro de gravidade e calculando K G . Como o corpo é um cone, o centro de gravidade não é na metade da altura. Esse detalhe é muito importante! O centro de gravidade de um cone fica em um quarto da altura do mesmo.

Maaaas, como o cone está invertido (de cabeça pra baixo), então o centro de gravidade é representado por ¾ da altura do cone:

K G = 3 H 4

Do enunciado, sabemos que H = 1,2 m:

K G = 3 .   1,2 4 = 0,9   m

Passo 2

Para calcular K B vamos usar essa mesma lógica. A parte que está submersa também um cone, só que ao invés de raio R e altura H, o raio é r, e a altura h. Então, o ponto em que o empuxo será aplicado também será ¾ da altura do cone invertido:

K B = 3 h 4

Do enunciado, sabemos que h = 0,8 H:

K B = 3 .   0,8   H 4 =   3 .   0,8 .   1,2 4 = 0,72   m

Daqui podemos encontrar mais informações. Como sabemos que o corpo está em equilíbrio:

P = E

Ou seja:

m c o n e . g = ρ á g u a . V s u b m e r s o . g

ρ c o n e . V c o n e . g = ρ á g u a . V s u b m e r s o . g

ρ c o n e . V c o n e = ρ á g u a . V s u b m e r s o

d c o n e . ρ á g u a . V c o n e = d á g u a . ρ á g u a . V s u b m e r s o

d c o n e . V c o n e = d á g u a . V s u b m e r s o

Lembrando de geometria, o volume do cone é

V c o n e = π R 2 3 H

E como o volume submerso é o volume de um cone também:

V s u b m e r s o = π r 2 3 h

Substituindo:

d c o n e . V c o n e = d á g u a . V s u b m e r s o

0 , 9 . π R 2 3 H = 1 .   π r 2 3 h

0 , 9 . R 2 H = 1 . r 2 h

Pelo enunciado, sabemos que:

h = 0,8 H

Substituindo:

0,9 . R 2 H = r 2 . 0,8 H

1,125 . R 2 = r 2

Vamos guardar essa expressão

Passo 3

Para calcular esse B M :

B M = I 0 V s u b m e r s o

O momento de inércia será o momento de inércia do círculo, pois essa é a área tocada pelo fluido na superfície.

I 0 = π r 4 4

Lembrando que:

V s u b m e r s o = π r 2 3 h

B M = I 0 V s u b m e r s o =   π r 4 4 π r 2 3 h

B M = 3 r 2 4 h

Substituindo r 2 = 1,125 . R 2 e h   =   0,8 H

B M = 3 . 1,125 . R 2 4 . 0,8 . H

Como R   =   0,5   m e H   =   1,2   m :

B M = 3.1,125 . 0,5 2 1,2 . H

B M = 0,22   m

Passo 4

Agora, vamos calcular GM

G M = K B - K G + B M

G M = 0,72 - 0,9 + 0,22

G M = 0,04   m

Encontramos GM e é maior que zero! Logo, o cone é estável para h = 0,8 H 😊

Resposta

G M = 0,04   m

Estável

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