Exercícios Resolvidos de Estabilidade

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Enunciado

Ao flutuar em água ( d = 1,0 ) , um corpo triangular equilateral ( d = 0,9 ) pode assumir uma das duas posições mostradas na Figura abaixo. Qual é a posição mais estável? Considere que a largura seja grande normal ao papel.

Passo 1

Para resolvermos essa questão existem algumas informações que devemos saber sobre um triangulo equilátero.

Possui os três lados iguais e a altura do triângulo é h = L 3 2 a área é A = L 2 3 4 .

O centro de gravidade de um triângulo é y c g = h 3 em relação a base.

Beleza agora pode começar a pensar no problema, para sabermos quem é mais estável devemos ver qual caso possui o maior G M .

Caso a :

A posição do centro de gravidade é h / 3 , nesse caso então:

K G = L 3 2 . 1 3 = L 3 6

Agora temos que achar a posição do centro de empuxo, para isso vamos usar do fato de estarmos em equilíbrio e peso ser igual a empuxo. Assim,

P = E

0,9 . V . g = 1 . V s u b m e r s o . g

0,9 . V = V s u b m e r s o

Para calcular o volume dessa peça, vamos fazer a área do triangulo e multiplicar pelo comprimento W que é muito grande. Assim, temos:

0,9 .   W . L 2 3 4 = W .   A s u b m e r s a  

A área submersa é a área do triangulo equilátero, menos a área de um mini triangulo equiláteros de lado x .

A s u b m e r s a = L 2 3 4 - x 2 3 4 = 3 4 L 2 - x 2

Então, temos:

0,9 .   W . L 2 3 4 = W 3 4 L 2 - x 2

Cortando o que conseguimos temos:

0,9 . L 2 = L 2 - x 2

x = 0,1 . L

A altura desse pequeno triangulo equilátero é:

h x = x 3 2 = 0,3 . L 2

Assim a altura da parte submersa é:

h s u b = L 3 2 - L 0,3 2 = L 2 3 - 0,3

Agora precisamos encontrar o centro geométrico do trapézio submerso. Para isso vamos ter que usar uma antiga fórmula que usávamos para calcular centro de área de figuras com furos.

Pois iremos imaginar que o trapézio é o triangulo grande menos o triangulo pequeno. Assim o centro geométrico da figura submersa será:

K B = A L . K G L - A x . K G x + h s u b A L - A x

Já lhes peço desculpas, mas agora vem uma parte cheia de letras e algebrismo que de física não tem nada.

K B = L 2 3 4 . L 3 6 - x 2 3 4 x 3 6 + L 2 3 - 0,3 L 2 3 4 - x 2 3 4

Cortando 3 / 4   e substituindo o x , chegamos em:

K B = L 3 . 3 6 - 0,1 L 2 . L 2 - 2 . 0,3 3 + 3 L 2 - 0,1 . L 2

K B = L 3 6 - 0,1 2 - 2 . 0,3 3 + 3 0,9

K B = L 0,2887 - 0,068 0,9

K B = 0,245 L

Ufaa, acabou! Podemos voltar a parte importante da questão agora.

Tendo K G e K B , falta apenas encontrar B M para calcularmos G M .

B M = I 0 V s u b

Lembre-se que o momento de inércia é de onde o fluido corta o objeto, sendo assim, o momento de inércia da nossa figura, será:

I 0 = W . x 3 12 = W . L 3 0,1 3 12

O volume submerso, já calculamos e vale:

V s u b = 0,9 . V = 0,9 . W . L 2 . 3 4

Sendo assim, B M é:

B M = W . L 3 0,1 3 12 . 1 0,9 . W . L 2 . 3 4

B M = L 0,1 3 0,9   .   3 . 3 = 0,0068 L

O G M dessa posição é:

G M = K B - K G + B M = 0,245 L - L 3 6 + 0,0068 L

G M = - 0,037 L

Sendo assim esse primeiro caso é instável.

Passo 2

Agora vamos analisar o caso ( b ) :

Nesse caso o centro de gravidade está localizado a K G = h - 1 3 h

K G = 2 3 h = 2 L 3 6 = L 3 3

Agora, para encontrar o centro de empuxo, temos que usar ∑ F = 0 → P = E

0,9 . V . g = 1 . V s u b m e r s o . g

0,9 . V = V s u b m e r s o

O volume submerso, será a largura W vezes a área de um triangulo equilátero de lado y .

0,9 . W . L 2 3 4 = W . y 2 3 4

y = 0,9 L

Assim, a posição do centro de carena é:

K B = h y - 1 3 h y = 2 3 h y

A altura do triangulo de lado y é:

h y = y 3 2 = 0,9 L . 3 2

Então:

K B = 2 3 . 0,9 L . 3 2

K B = 0,3 L 3 = 0,52 L

Por fim falta apenas calcular o B M , para isso precisamos saber o momento de inércia da linha do fluido.

I 0 = W . Y 3 12 = W . L 3 . 0,9 3 12

Assim,

B M = W . L 3 . 0,9 3 12 . 1 0,9 V

B M = W . L 3 . 0,9 3 12 . 1 0,9 . W . L 2 3 4

B M = L . 0,81 3 3 = 0,16 L

Agora temos tudo que é necessário para calcular o G M ,

G M = K B - K G + B M

G M = 0,52 L - 3 3 . L + 0,16 L

G M = 0,1 L

O G M dessa posição é maior que zero, assim maior que o G M da posição a sendo assim a posição mais estável.

Resposta

Caso b é o mais estável.

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