Exercícios Resolvidos de Estabilidade

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Enunciado

Considere um cilindro de madeira ( d   =   0,6 ) de 1 m de diâmetro e 0,8 m de comprimento. Esse cilindro seria estável se colocado para flutuar com seu eixo na vertical em óleo ( d   =   0,8 )?

Passo 1

Fala aí! Vou traduzir o que esse exercício está perguntando: “Será que se colocarmos esse cilindro em pé no óleo ele fica estável?”

Para responder essa pergunta precisamos calcular GM e verificar se esse valor é maior que zero. Se for, a resposta vai ser sim! É estável. Se for GM for menor que zero, o equilíbrio vai ser instável e qualquer perturbação vai fazer esse cilindro virar.

A equação que vamos usar é:

G M = K B - K G + B M

Precisamos encontrar K B , K G e B M para calcular G M , que é quem queremos conhecer!

Começando pelo K G , vamos considerar que o material do cilindro é uniforme. Com isso, o centro de gravidade fica na metade da altura do cilindro.

Como o cilindro está em pé, a altura é o comprimento:

K G = H 2 =   0,8 2 = 0,4   m

Passo 2

E onde seria aplicado o empuxo? Quem é K B ?

O empuxo é aplicado na metade do volume submerso. Mas não sabemos quanto do cilindro está submerso no óleo. Sabemos que há um equilíbrio de forças, então:

P = E

Lembrando as fórmulas da força Peso e do Empuxo:

m c i l i n d r o . g = ρ ó l e o . V s u b m e r s o . g

ρ c i l i n d r o . V c i l i n d r o . g = ρ ó l e o . V s u b m e r s o . g

Cancelando a gravidade:

ρ c i l i n d r o . V c i l i n d r o = ρ ó l e o . V s u b m e r s o

O volume do cilindro é

V c i l i n d r o = Á r e a   d a   b a s e × a l t u r a

V c i l i n d r o = π D 2 4 H

V c i l i n d r o = π 1 2 4 0,8

V c i l i n d r o = 0,628 m ³

Por outro lado, o volume submerso é:

V s u b m e r s o = Á r e a   d a   b a s e × a l t u r a   s u b m e r s a

V s u b m e r s o =   π D 2 4 h

V s u b m e r s o =   π 1 2 4 h

V s u b m e r s o =   0,785   h

Substituindo:

ρ c i l i n d r o . V c i l i n d r o = ρ ó l e o . V s u b m e r s o

0,6   × 0,628 = 0,8 × 0,785   h

Logo, a altura do cilindro que está submersa é:

h = 0,6   m

Lembrando que o ponto de atuação do empuxo é no centro de gravidade da parte submersa:

K B = h 2

Substituindo o valor que encontramos para h

K B = 0,6 2 = 0,3

Passo 3

Finalmente, vamos calcular o B M ! A fórmula é:

B M = I 0 V s u b m e r s o

O momento de inércia do cilindro em pé é o momento de inércia do círculo (porque essa é a região que a oléo toca o cilindro)

I 0 = π R 4 4

Como o diâmetro é 1 m, o raio é 0,5 m. Substituindo:

I 0 = π 0,5 4 4 = 0,049

Com isso, para encontrar BM:

B M = I 0 V s u b m e r s o =   0,049 0,785   h

B M = 0,049 0,785   × 0,6 = 0,104

O valor de B M foi encontrado.

Passo 4

Finalmente, temos todos os valores necessários para calcular G M !

G M =   K B - K G + B M

G M =   0,3 - 0,4 + 0,104

G M = - 0,1 + 0,104

G M = 0,004

Opaaa! Encontramos G M e o valor é maior que zero! O que isso significa?

GM > 0 significa que o equilíbrio é estável! Portanto, a resposta é sim! O cilindro colocado na posição vertical no óleo encontra-se estável, pois GM > 0.

Resposta

Sim! O cilindro seria estável nas condições pedidas.

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