Diagrama T × S

Teoria Completa

Diagrama T × S

Já conhecemos bem o diagrama p × V . Agora vamos conhecer o diagrama T × S :

É um diagrama onde o eixo vertical representa a temperatura e o eixo horizontal a entropia.

Também existe o diagrama U × S , mas como U = U ( T ) , então o formato dele é exatamente igual ao T × S ! =)

Processo Adiabático:

Q a d i a b á t i c o = 0

Δ S a d i a b á t i c o = 0

Se Δ S = 0 , então a entropia é constante! Se Δ T > 0 , então esse processo vai ficar:

Se Δ T < 0 , então o sentido se inverteria ( 2 → 1 ).

Processo Isotérmico:

Também seria uma reta, só que agora paralelo ao eixo da entropia.

E como, Δ S i s o t é r m i c o = n R ln ⁡ V f V i

Se Δ V > 0 , então Δ S > 0 ( 1 → 2 ). Se Δ V < 0 , o sentido se inverteria.

Processo Isovolumétrico ou Isobárico:

As curvas dos dois vão ser bem parecidas, a única diferença é que em um usamos c v e no outro c p . Vamos olhar o isovolumétrico como exemplo.

Δ S i s o v o l u m é t r i c o = n c v ln ⁡ T f T i

Se quisermos escrever a temperatura em função da entropia:

ln ⁡ T f T i = Δ S n c v

T f = T i   e Δ S / c v  

A curva vai ter um formado de uma exponencial:

Ciclo de Carnot

Os processos no ciclo de Carnot são:

1-2: compressão adiabática

2-3: expansão isotérmica

3-4: expansão adiabática

4-1: compressão isotérmica

Os processos 1-2 e 3-4 são adiabáticos e reversíveis (entropia constante); e os processos 2-3 e 4-1 são isotérmicos (temperatura constante).

No diagrama T × S fica assim:

Área abaixo da Curva

O que significa a área abaixo da curva?

Área = ∫ T d S

Como d S = d Q / T

Á r e a = ∫ T d Q T = ∫ d Q

Á r e a = Q

A área abaixo da curva é o calor naquele processo.

Para um ciclo inteiro, a área dentro do ciclo

Á r e a = ∮ T   d S = Q c i c l o

Mas como em qualquer ciclo ( Δ U c i c l o = 0 ), pela primeira lei da termodinâmica, temos que

Q ciclo = W ciclo

Então:

Área do ciclo = Q c i c l o = W ciclo

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Exercício Resolvido #1

UFRJ – 1ª Prova – 2013.2

Um mol de um gás ideal é submetido a um ciclo reversível consistindo de duas ADIABÁTICAS e duas ISÓCORAS, como mostra o diagrama p - V na figura.

Marque a opção que melhor representa o MESMO ciclo em um diagrama T - S .

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Passo 1

O primeiro passo para transformar um diagrama p - V em T - S é conferir se tem alguma isoterma ou adiabática, porque no diagrama T - S essas transformações são retas.

Nesse caso, temos duas transformações adiabáticas.

Pela figura, as adiabáticas são C → D e A → B .

Transformações adiabáticas são retas verticais no diagrama T - S , pois a entropia é constante.

Observação: lembrando que processos adiabáticos e reversíveis tem entropia constante:

d Q = T d S = 0 → S = c o n s t a n t e

Pelas alternativas, podemos eliminar a letra ( d ) .

Passo 2

Agora que sabemos que temos duas adiabáticas, temos que ver o sentido.

Primeiro: no diagrama p - V mostrado, o sentido do ciclo é horário.

Como o trabalho é a área do ciclo nos dois diagramas, então o sentido do ciclo no diagrama T - S também deve ser horário.

Observação: lembrando que o sentido do ciclo determina se o trabalho é positivo ou negativo. Se for sentido horário, é positivo e vice-versa.

Assim, podemos eliminar as letras ( c ) e ( d ) .

Logo, só nos resta a letra ( a ) como resposta.

Passo 3

Só para garantir que esta é a resposta certa, podemos ver que nos processos isovolumétricos, a pressão aumenta.

Aplicando a equação dos gases ideais no processo B → C , por exemplo:

p B V B T B = p C V C T C

Como V B = V C :

p B T B = p C T C

Como p C > p B , então T C > T B .

De fato, podemos observar isso na resposta da letra ( a ) !

Resposta

Alternativa ( a ) .

Exercício Resolvido #2

UFRJ – 1ª Prova – 2014.1

1   m o l de um gás ideal é submetido a uma transformação cíclica reversível, representada no plano ( T , S ) pelo diagrama abaixo:

Na transformação a → b , o gás sofre um aquecimento a pressão constante; em b → c , um resfriamento adiabático; em c → d , um resfriamento a volume constante; finalmente, em d → a , um aquecimento adiabático.

a   Mostre, partindo de primeiros princípios, que

W = ∮ T   d S

b   Dado que, no aquecimento a pressão constante, d S = C p d T T e, no resfriamento a volume constante, d S = C v d T T , calcule o trabalho realizado neste ciclo.

c   Desenhe o diagrama correspondente no plano ( P , V ) , descrevendo cada processo, e calcule o trabalho, da maneira tradicional,APENAS no processo a pressão constante ( a → b ) . Escreva o resultado em termos das temperaturas do sistema.

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Passo 1

Resolvendo item ( a )

Como o ciclo é reversível, podemos calcular a variação de entropia do ciclo desta forma:

Δ S = ∫ d Q T

Na forma diferencial:

d S = d Q T

Substituindo na integral do ciclo:

∮ T   d S = ∮ T   d Q T = ∮ d Q = Q c i c l o

Então, essa integral é o saldo de calor no ciclo.

Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica no ciclo:

Q c i c l o = Δ U c i c l o + W c i c l o

Como a variação de energia interna só depende dos estados inicial e final, em um ciclo essa variação é zero.

Logo:

Q c i c l o = W c i c l o

Então, se ∮ T   d S = Q c i c l o

Logo:

W c i c l o = ∮ T   d S

Passo 2

Resolvendo item ( b )

O trabalho realizado é dado por:

W = ∮ T   d S = Á r e a   d o   c i c l o

Ou seja:

∮ T   d S = ∫ a b T   d S + ∫ b c T   d S + ∫ c d T   d S + ∫ d a T   d S

Nos processos d → a e b → c , a área abaixo da curva é zero.

Então, precisamos calcular essa integral só nos processos a → b e c → d .

Passo 3

Calculando integral no processo a → b :

Nesse processo, o enunciado nos disse que

d S = C p d T T

Pois, nesse processo, a pressão é constante.

Substituindo na integral:

∫ T   d S = ∫ T   C p d T T = C p ∫ d T

Logo:

∫ a b T   d S = C p ∫ a b d T

⇒ ∫ a b T   d S = C p T b - T a

Passo 4

Calculando integral no processo c → d :

Nesse processo, o enunciado nos disse que

d S = C v d T T