Teoria Completa
Introdução
Imagina o seguinte sistema, um cilindro de gás ideal com suas moléculas num estado qualquer.
Como a gente calcularia a entropia desse sisteminha mostrado?
A resposta é: Depende!
A variação de entropia de um sistema deve ser calculada após haver alguma agitação das moléculas nesse sistema que resultem em alguma variação de calor.
Usamos então a seguinte equação para a variação da entropia:
Onde é a variação da entropia, é o integrante de calor e é a temperatura do gás.
Existem 4 processos para o gás ideal que podem ser relacionados com a variação da entropia e vamos aprender a calcular para todos eles por aqui.
Cálculo da Entropia
Processo Adiabático Reversível:
Nesse processo não há troca de calor no sistema portanto o calor absorvido pelas moléculas é:
Então:
É um processo em que a entropia não varia (isoentrópico)!
Processo Isovolumétrico:
No processo isovolumétrico não há variação do volume do gás, ele não se expande e nem se comprime.
Aqui precisaremos calcular o calor pra substituir na equação da entropia. Isso porquê no caso isovolumétrico o calor depende da variação de temperatura, então a integral deixará de ser em função do calor pra ser em função da temperatura.
Como calcular o calor nesse processo? Basta lembrar que:
E por isso temos:
Substituindo o na integral temo:
Como para um gás ideal é constante (se não fosse constante teria que integrar):
Então se te pedissem pra calcular um gás num processo isovolumétrico você precisaria somente das constantes:
que é o número de moléculas em mols do gás.
que é o calor específico ao volume constante do gás que pro gás ideal é dada por:
Onde é a constante dos gases reais e é a constante pra cada tipo de gás(monôatomico, diatômico, poliatômico.)
que é a temperatura final do gás e que é a temperatura inicial do gás.
Só fique atento as unidades, se o calor específico for dado em a temperatura deverá ser em
Processo Isobárico:
Aqui não há variação de pressão e o calor será como no volumétrico uma função da temperatura.
A única diferença aqui é que usaremos o calor específico para pressão constante ao invés do volume constante
Se jogarmos na equação da entropia e integrar, vai dar:
A única coisa nova aqui é o calor específico na pressão constante que é dado por:
Processo Isotérmico:
Nesse processo a temperatura não varia e portanto a variação da energia interna do gás é:
Isso influencia diretamente a primeira lei da termodinâmica:
Lembrando que o trabalho aqui é dado por:
Substituindo na integral da entropia temos:
Só que agora a pressão não é constante com o volume. Temos que transformar as coisas, usando o nosso amigão:
Substituindo na integral
Então pro processo isotérmico em relação ao que já vimos antes só vamos depender das constantes:
que é o volume final e que é o volume inicial do gás. Aqui só precisamos deixar os dois volumes na mesma unidade.
Resumão
Entropia em um ciclo termodinâmico
Porquê não existe máquina térmica com 100% de eficiência?
Vamos dar uma olhada num ciclo termodinâmico pra responder isso.
Numa máquina térmica a gente cede calor de uma fonte quente pro ciclo e uma parte desse calor gera trabalho, enquanto que a outra parte se perde pro ambiente em calor pra uma fonte fria.
Então, assim como a variação de energia interna a entropia só vai depender do estado final do ciclo, e por ser um ciclo os pontos final e inicial são os mesmos, sendo assim não há variação de energia ou de entropia.
Numa máquina térmica, além do ciclo termodinâmico em si, ainda temos as fontes quente e fria. A variação de entropia total desse universo é:
Onde é a variação da entropia da fonte quente e é a variação da entropia da fonte fria.
Como consideramos a temperatura da fonte quente e da fonte fria constantes, podemos calcular essas variações pelas fórmulas:
A variação total é:
Como o calor quente está saindo da fonte quente, temos que . O calor frio está entrando na fonte fria, então .
Para que esse ciclo seja possível, pela segunda lei da termodinâmica, temos que,
Jogando isso no rendimento:
Esse segundo termo é justamente o rendimento num ciclo reversível, o ciclo do nosso amigão Carnot!! Então:
No ciclo de Carnot a variação da entropia também é zero!
Agora vamos fazer uns exercícios para mandar super bem na prova!
Exercício Resolvido #1
Duas amostras de um gás à mesma temperatura e pressão, são comprimidas do volume para um volume , uma isotermicamente e outra adiabaticamente.
Determine a pressão final nos dois casos
Determine a variação de entropia nos dois casos.
Passo 1
Bom, pra descobrir a pressão final no caso da transformação isotérmica é fácil, basta usar o Piviti-Póvoto:
Sendo , e :
Sendo a pressão inicial.
E no caso da transformação adiabática, vamos usar a fórmula:
Logo:
Sendo que o é indicado de acordo com o tipo do gás (monoatômico, diatômico, etc).
Passo 2
Transformação isotérmica:
Nesse caso, como a temperatura não varia, vamos ter . E, pela primeira lei:
O trabalho de uma transformação isotérmica é dado por:
Logo:
Como a variação de entropia é dada por:
Como a temperatura é constante, a variação fica:
Substituindo o valor de :
Como e :
Passo 3
Transformação adiabática:
Vamos dar uma olhada na integral:
Como numa transformação desse tipo não há troca de calor, a integral acima irá zerar. Logo:
Resposta
Transformação isotérmica:
Transformação adiabática:
Exercício Resolvido #2
Um recipiente rígido (volume constante) e isolado termicamente contém de nitrogênio na forma de gás a pressão de e a temperatura de . Um agitador mecânico, com pás no interior do recipiente, realiza de trabalho sobre o gás. O calor específico do nitrogênio, a volume constante, é .
Calcule a temperatura final do gás.
Calcule a variação de entropia do universo neste processo.
Passo 1
Vamos analisar o problema com a primeira lei da termodinâmica:
Como o gás está isolado termicamente: :
Como o trabalho que foi realizado sobre o gás foi feito por um agente externo, :
Passo 2
Agora vamos usar a fórmula:
Vamos aplicar os valores que o enunciado deu e os que conseguimos na relação abaixo:
Lembrando que:
Sendo :
Passo 3
A variação de entropia do universo (gás + pás + resto) é dada por
Mas como
Já que não houve uma troca de calor (mesmo que a entropia do gás tenha aumentado).
Resposta
Exercício Resolvido #3
Uma máquina térmica opera entre dois reservatórios a e . Ela absorve de calor do reservatório de temperatura mais elevada e executa de trabalho durante um ciclo. Encontre, com justificativas:
A variação da entropia da máquina em um ciclo e a variação da entropia do universo para este processo.
O trabalho feito por uma máquina de Carnot que opera entre esses dois reservatórios absorvendo de calor da fonte de temperatura mais elevada.
Passo 1
A variação de entropia de um processo cíclico é sempre igual à zero. Por quê? Oras, porque, como a entropia é uma variável termodinâmica, ela só depende dos pontos finais e inicias. Mas como num ciclo o processo todo volta para o inicio, a variação da entropia vai dar zero:
Passo 2
E a variação de entropia do universo? Bom, a variação de entropia do universo é a soma de todas as variações. Então é a soma da variação do ciclo, mais da fonte quente e mais a da fria:
Bom, a variação de entropia da fonte fria é dada por:
Onde é o calor recebido pela fonte fria e que é despejado do ciclo.
Usando a relação:
A gente pode achar facilmente
Então, sendo
O valor é positivo, pois o calor entra na fonte fria.
A entropia da fonte quente é igual ao calor que ela perde para o ciclo dividido pela temperatura da fonte quente:
Então:
Passo 3
Antes a gente precisa calcular o rendimento de uma máquina de Carnot operando entre essas temperaturas:
Beleza?
Agora usamos a propriedade:
Resposta
;
Exercício Resolvido #4
O ciclo da figura abaixo representa a operaçãoo de um motor de combustão interna de gasolina (ciclo de Otto). Suponha que a mistura gasolina-ar é equivalente a mols de um gás ideal com .
Determine as razões entre as temperaturas absolutas , e .
Determine as razões entre as pressões e .
Determine o trabalho total realizado no ciclo (em função de ).
Em que fase o calor é fornecido ao sistema? Calcule esse calor (em função de ).
Calcule a eficiência dessa máquina, supondo que todas as trocas de calor ocorrem com fontes externas ao sistema.
Determine a variação de entropia da substância de trabalho em cada fase do ciclo (em função de ).
Passo 1
Antes de atacar o problema, vamos primeiro extrair as informações que são dadas através da figura:
Para determinar as razões, vamos montar as equações, baseada na lei dos gases ideais, para dois pontos e depois dividir as duas para obter a razão! Ficou confuso? Se liga, então:
Para o ponto , temos:
Para o ponto , temos:
Agora é só dividir a equação do ponto pela equação do ponto :
Passo 2
Para o processo adiabático entre os pontos e , temos:
Fazendo as substituições, temos:
Passo 3
Analogamente, temos para o processo adiabático entre os pontos e :
Fazendo as substituições, temos:
Passo 4
Para determinar as razões entre as pressões, vamos fazer como fizemos no item anterior:
Para o ponto , temos:
Para o ponto , temos:
Lembrando que fizemos as substituições baseadas nas informações que extraímos da figura e das razões que achamos no item anterior!
Dividindo a equação para o ponto pela equação para o ponto , temos:
Passo 5
Vamos fazer o mesmo procedimento para os pontos e !
Para o ponto , temos:
Agor é só dividir a equação para o ponto pela equação para o ponto !
Passo 6
Vamos primeiro analisar a figura. Podemos perceber que o trabalho realizado entre e e entre e é zero pois são processos isovolumétricos!
Agora vamos para os processos adiabáticos. Nesses processos, sabemos que não há troca de calor, ou seja:
portanto, pela primeira lei da termodinâmica, temos:
Pela definição de energia interna, temos:
Precisamos agora determinar , que são os graus de liberdade do gás:
Passo 7
Para determinar , podemos utilizar a definição de
Como o valor de é dado, temos:
Passo 8
Agora podemos calcular o trabalho, para o processo , temos:
Substituindo e colocando as temperaturas em função de , temos:
Agora para o processo , temos: