Exercícios Resolvidos de Força em Comportas

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Enunciado

A comporta A B na Figura abaixo é uma massa homogênea de 180   k g , 1,2   m de largura, é articulada em A e está apoiada sobre um fundo liso em B . Todos os fluidos estão a 20 ° C . Para qual profundidade h da água a força no ponto B será zero?

Passo 1

Essa é a questão que mistura tudo que aprendemos, pois temos a comporta exposta a dois fluidos. A comporta está inclinada.

Sabemos que para calcular a força de pressão precisamos saber a posição do centro de gravidade. Então iremos achar a posição do centro de gravidade.

Como a comporta é um retângulo, o centro de gravidade está no meio dela, assim temos:

Vamos usar a relação do seno:

s e n   60 ° = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = y c g 0,5

y c g = 3 2 . 0,5 = 0,433   m

Agora a gente consegue calcular a profundidade do centro de gravidade.

Começando pelo lado esquerdo, o lado da glicerina:

A profundidade do centro de gravidade é:

h c g g l i c e r i n a = 2 - 0,433 = 1,567   m

Já no lado da água, teremos uma função, já que não sabemos o valor da coluna de água, na verdade é isso que queremos descobrir, assim:

h c g á g u a = h - 0,433

Passo 2

Sabendo a profundidade do centro de gravidade para cada lado. E também, sabendo que a densidade da água é 998   k g / m 3 e da glicerina é 1260   k g / m 3 . Conseguimos calcular a força de pressão aplicada na placa devido a cada fluido.

F g l i c e r i n a = P c g . A = 1260   .   9,8   .   1,567   .   1,2   .   1

F g l i c e r i n a = 23.219,18   N

Já a força devido a coluna de água será uma função, tendo h como variável.

F á g u a = P c g . A = 998 .   9,8   .   h - 0,433 .   1,2   .   1

F á g u a = 11.736,48   .   h - 0,433

Passo 3

Já encontramos as forças, agora só falta encontrar o ponto de aplicação de cada uma delas.

Começando pela força devido a glicerina, temos:

y c p = - γ g l i c e r i n a . s e n 60 °   . I x x γ g l i c e r i n a . h c g . A

O momento de inércia da comporta retangular é:

I x x = b   . L 3 12

Como o enunciado informou que a largura b é 1,2 m e pela figura temos que o comprimento L da comporta é de 1 m:

I x x = 1,2   . 1 3 12 = 0,1   m 4

Observe que a parte que importa qual fluido se trata se cancela, sendo assim a única coisa que vai mudar de uma equação para a outra será a profundidade do centro de gravidade.

Mas vamos terminar de calcular essa posição antes de tudo:

y c p g l i c e r i n a = - 3 2 . 0,1 h c g   .   1,2

y c p g l i c e r i n a = - 3 2 . 0,1 1,567   .   1,2 = - 0,046   m

Agora, vamos calcular a posição para a força devido a água. Usando o que já encontramos:

y c p á g u a = - 3 2 . 0,1 h c g   .   1,2

y c p á g u a = - 3 2 . 0,1 h - 0,433 .   1,2 = - 0,0722 h - 0,433

Passo 4

Show, temos as forças e pontos de aplicação calculados.

Sempre lembrando que esses ponto de aplicação foram calculados em relação ao centro de gravidade, no plano da placa. Não se esqueçam disso, por favor!

Então o que a gente tem é isso:

Para podermos aplicar a equação de momento, devemos decompor o peso, pois no momento irá interessar apenas a componente normal a comporta, sendo esta:

P n = P . cos ⁡ 60 ° = 180   .   9,8   . 1 2 = 882   N

Bem, agora podemos aplicar a equação de momento, fazendo o momento em relação ao ponto A .

Preste atenção que é no ponto A , sendo assim a distância do centro de gravidade a este ponto é 0,5   m .

y c g ' = 0,5   m

A distância do centro de pressão da glicerina será a posição do centro de gravidade em relação ao ponto A menos a sua posição em relação ao centro de gravidade:

y c p ' g l i c e r i n a = y c g ' - y c p g l i c e r i n a = 0,5 - - 0,046

y c p ' g l i c e r i n a = 0,546   m

E o mesmo acontecerá com o centro de pressão da água:

y c p ' á g u a = y c g ' - y c p á g u a = 0,5 - - 0,0722 h - 0,433

y c p ' á g u a = 0,5 + 0,0722 h - 0,433

Agora sim, aplicando a equação de momento:

∑ M = 0 = - P n . y c g ' - F á g u a . y c p ' á g u a + F g l i c e r i n a . y c p ' g l i c e r i n a

0 = - 882   .   0,5 - 11.736,48   .   h - 0,433 . 0,5 + 0,0722 h - 0,433 + 23.219,18   .   0,546

0 = - 441 - 11.736,48   .   h - 0,433 . 0,5 - 11.736,48   .     0,0722 + 12.677,67

0 = 11.389,3 - 5.868,24   . h + 5.868,24   .   0,433

h = 13.930,25 5.868,24 = 2,37   m

Resposta

h = 2,37   m

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