Exercícios Resolvidos de Força em Comportas

Na figura abaixo, determinar a altura h e a mínima força F para que a comporta permaneça em equilíbrio. A largura é unitária. Adotar γ á g u a = 9810   N / m 3 e d h g = 13,6 .

Passo 1

Vamos começar descobrindo o valor de h . Para isso vamos usar o princípio de Stevin, ou seja, pegar dois pontos no mesmo fluido na mesma altura e igualar as pressões.

Porém nesse caso dois pontos não será o suficiente para gente resolver o problema, iremos precisar de 4 pontos, os seguintes 4 pontos:

Temos que P x = P Y e P z = P W = P A = P B

Beleza, vamos então primeiro montar a igualdade de pressão dos pontos laranjas.

P z = P w

A pressão em W é devido a pressão atmosférica e a pressão de coluna de água h , sendo assim P w vale:

P z = P w = P a t m + γ á g u a . h

Agora vamos montar a equação de pressão dos pontos em vermelho.

A pressão em x é:

P x = 13.600   .   9,8   .   0,2 + P a t m

Já a pressão em y é:

P y = γ á g u a . 0,4 + P z = γ á g u a . 0,4 + P a t m + γ á g u a . h

Igualando as pressões temos:

P x = P y

13.600   .   9,8   .   0,2 + P a t m = γ á g u a . 0,4 + P a t m + γ á g u a . h

A pressão atmosférica vai se cancelar, assim sobrando apenas h como variável.

h = 26656 - 9810.0,4 9810 = 2,32   m

Agora que sabemos a altura conseguimos saber a pressão nos pontos A e B .

Porque a pressão nesse ponto é importante? Pois ela ira exercer uma força na comporta, nessa região.

Como temos a ação da pressão atmosférica na região externa, vamos subtraí-la da conta, assim podemos falar que a pressão em A e B é:

P A = P B = γ á g u a . h = 9810   .   2,32

P A = P B = 22759,2   P a

Como temos a ação de uma pressão constante na superfície A B da comporta o ponto de aplicação será no centroide da superfície A B , sendo assim 0,5   m . E podemos calcular a força resultante dessa pressão usando:

F A B = P . A = 22759,2   .   1 .   1 .  

A largura, foi dita unitária, 1.

Sendo assim a força aplicada na região A B   é F A B = 22759,2   N

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos descobrir a força causada na superfície B C da comporta. Aqui é onde acontece o que temos estudado e feito vários exercícios.

Assim, a força será dada por:

F B C = γ á g u a . h c g . A

O centro de gravidade dessa superfície está localizado a 1   m e t r o   do ponto B , certo? Metade da chapa.

Sendo assim a profundidade do centro de gravidade é:

h c g = h + 1 = 2,32 + 1 = 3,32

Tendo a profundidade do centro de gravidade conseguimos calcular a força.

F B C = 9810   .   3,32   .   2 .   1

F B C = 6513 6,4   N

Agora, só falta encontrarmos a posição em que atua essa força, ou seja, o centro de pressão:

y c p = - γ á g u a . s e n   θ   . I x x γ á g u a . h c g . A

O ângulo que a chapa faz com a superfície é 90 ° , o momento de inércia de uma chapa é:

I x x = b . h 3 12 = b . 2 3 12 = b . 2 3

Substituindo isso temos:

y c p = - b . 2 3   .     3,32   .     2   .   b

y c p = - 1 3   . 3,32   = - 0,1   m

Como essa posição é em relação ao centro de gravidade, então em relação ao ponto B a distância seria:

y c p ' = y c g - y c p = 1 - - 0,1 = 1,1   m

E a força F aplicada no ponto C está a 2   m do ponto B . Bem, para que precisamos saber disso? Para quando aplicarmos a equação de momento sabermos todas as distâncias.

Passo 3

Então agora vamos aplicar a equação de momento, se queremos que a peça esteja parada então, ∑ M = 0

∑ M = 0 = F A B . 0,5 + F B C .   1,1 - F . 2

0 = 22759,2 . 1 2 + 65136,4   .   1,1 - F . 2

F = 11379,6 + 71650 2

F = 41514,82   N

Resposta

h = 2,32   m   ;

F = 41514,82   N

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