Exercícios Resolvidos de Força em Comportas

Determinar o mínimo valor de Z , para o qual a comporta da figura girará em torno do ponto O, se a comporta é retangular de 2 m de largura. Dado γ H 2 0 = 9800   N / m 3 .

Passo 1

Essa questão é parecida com as que já fizemos, mas ela tem um detalhe muito importante.

Lembra na teoria quando falamos que estávamos desconsiderando a pressão atmosférica, pois ela estaria na maioria das vezes aplicada aos dois lados?

Pois bem, nesse caso a gente continua tendo a aplicação da pressão atmosférica dos dois lados.

Porém do lado externo da comporta existe uma pressão extra a da atmosférica, que o manômetro está medindo que vale P e x t = 49   k P a .

Então vamos continuar ignorando a pressão atmosférica, mas temos que agora levar em conta a pressão do lado externo.

OBS: Observe que no lado externo temos a aplicação da pressão atmosférica mais a pressão do ar que vale 49   k P a . Por isso podemos não considerar a pressão atmosférica, pois ela atua tanto no lado externo quanto interno.

Bem, vamos começar a resolver o problema. Como temos pressão dos dois lados, teremos força atuando dos dois lados.

Existem duas maneiras da comporta se mexer uma é se ∑ F ≠ 0 e a outra se ∑ M ≠ 0

Vamos primeiro começar pelo somatório de força.

Como vimos com a pressão atmosférica que a pressão de um lado anula a do outro. Podemos observar que a comporta vai começar a se mexer quando a pressão da coluna de liquido no centroide superar a pressão de ar no lado externo.

Assim, quando:

P c g > P e x t → F i n t e r n a > F e x t

Já que para os dois lados a área da chapa é a mesma.

Então basta resolvermos a inequação:

P c g > P e x t

Para descobrirmos o valor de h .

γ á g u a . h c g > 49.000   P a

Bem, dado que é uma comporta retangular o centro de gravidade é na metade do comprimento, assim valendo y c g = 5 2 = 2,5 .

Como queremos a profundidade do centro de gravidade, basta fazer:

h c g = Z - y c g = Z - 2,5

Tendo h c g e sabendo a densidade mássica da água, podemos substituir os valores na inequação:

9800 .   Z - 2,5 = 49.000

Z - 2,5 = 49.000 998   .     9,8 = 5,0

Então, chegamos que em:

Z = 5,0 + 2,5

Z = 7,5   m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos começar a analisar a segunda opção ∑ M = 0

Para essa opção vamos ter que encontrar o ponto de aplicação das duas forças.

Vamos começar com a força externa, como a pressão no lado externo é constante então o ponto de aplicação é no centro de gravidade.

Sendo assim o ponto estaria a 2,5   m do ponto O .

E a força aplicada nesse ponto seria:

F e x t = P e x t . A = 49.000   .     2   .   5

F e x t = 490.000   N

Agora vamos analisar a região interna, a força vai ser dada em função de Z .

F i n t = P c g . A = 9800 . Z - 2,5 . 2.5

F i n t = 98000 . Z - 2,5

E o ponto de aplicação será o centro de pressão que é calculado por:

y c p = - γ á g u a . s e n θ . I x x γ á g u a h c g . A

Podemos simplificar já que o ângulo que a comporta faz com a horizontal é 90 ° .

y c p = - I x x h c g .   A

A área já sabemos que é A = 2.5 = 10   m 2 a profundidade do centro de gravidade também já conhecemos, h c g = Z - 2,5

Só falta o momento de inércia, esse a gente tem que calcular:

I x x = b . L 3 12 = 2.5 3 12

Substituindo, temos:

y c p = - 2.5 3 12   . Z - 2,5 . 10 = - 25 12 Z - 2,5

Esse valor é em relação ao centro de gravidade, queremos o valor em relação ao fundo. Dessa força a coordena y do centro de pressão é:

y = y c g + y c p = 2,5 - 25 12 Z - 2,5

Agora, temos que montar a equação de momento.

Como estamos analisando o momento em que ela começa a se mexer, ou seja, o momento em que a comporta perde contato com o batente, a força nesse ponto é zero.

Vamos fazer o momento em relação ao ponto O , assim agindo apenas duas forças a força interna e a força externa.

∑ M = 0 = F i n t . 5 - y - F e x t . 5 - y c p e x t

0 = 98000 . Z - 2,5 .   5 - 2,5 - 25 12 Z - 2,5 - 490.000 5 - 2,5

0 = 98000 . Z - 2,5 .   2,5 + 25 12 Z - 2,5 - 490.000 2,5

Feia, né? Vamos começar simplificando ela: Primeiro vamos fazer a multiplicação Z - 2,5 .   2,5 + 25 12 Z - 2,5

0 = 98000 . 2,5 Z - 2,5 2 + 25 12 - 490.000   .   2,5

Podemos dividir a equação por 2,5 e por 10.000 e assim teremos:

0 = 9,8 . Z - 2,5 + 10 12 - 49

Agora, vamos dividir a equação por 9,8 e vamos obter:

0 = Z - 2,5 + 10 12 - 5

E por fim, basta isolar Z , que encontramos:

Z = 2,5 - 0,833 + 5

Z ≅ 6,7   m

Como queríamos o menor valor de Z que faça a comporta se movimentar, o menor valor é Z ≅ 6,7   m .

Resposta

  Z ≅ 6,7   m

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