Enunciado

Uma comporta plana semicircular A B , articulada ao longo de B , é suportada pela força horizontal F A aplicada em A . O líquido à esquerda da comporta é água. Calcule a força F A requerida para o equilíbrio.

Dados: 1   f t = 0,3048   m

Passo 1

Essa questão é muito parecida com a anterior, o que vai mudar é que a comporta não é retangular. E isso vai influenciar na posição do centro de gravidade e no momento de inércia e, assim, mudar muitos valores. Mas o raciocínio para resolver é o mesmo.

Para resolvermos precisamos descobrir o valor da força causada pela pressão de água na comporta e o centro de pressão para podermos aplicar a equação de momento.

Passo 2

Vamos começar descobrindo a força de pressão.

Na teoria vimos que a força de pressão é dada por:

F p r e s s ã o = p c g .   A c o m p o r t a = ρ f l u i d o . g . h c g . A c o m p o r t a

A densidade da água a gente sabe que é 998   k g / m 3 . A aceleração da gravidade é 9,8   m / s 2 . E a profundidade do centro de gravidade a gente tem que calcular.

Para usarmos tudo em m e t r o s vamos transformar os valores que temos:

R = 10   f t   .   0,3048   m / f t = 3,048   m

E:

H = 25   f t   .   0,3048   m / f t = 7,62   m

Continuando agora, vamos calcular o centro de gravidade.

Bem, pra um semicírculo, o centro de gravidade é:

y c g = 4 R 3 π = 4 .   3,048 3 π = 12,2 3 π = 1,29   m

Mas a gente quer a profundidade e por isso temos que fazer a profundidade total do fluido menos a posição do centro de gravidade em relação ao fundo.

h c g = H - y c g

h c g = 7,62 - 1,29 = 6,33   m

E por fim vamos calcular a área da comporta.

A c o m p o r t a = π R 2 2 = π . 3,048 2 2 = 14,6   m 2

Podemos então calcular a força de pressão na comporta.

F p r e s s ã o = 998   .   9,8   .   h c g   . A c o m p o r t a

F p r e s s ã o = 998   .   9,8   .   6,33   .   14,6  

F p r e s s ã o = 903.885   N

Passo 3

Agora vamos encontrar a posição do centro de pressão. Bem, estamos interessados só na posição Y , pois é dela que precisamos para aplicar a equação de momento.

Assim, na teoria vimos que a fórmula para encontrar o centro de pressão em relação ao centro de gravidade é:

Y c p c g = - γ f l u i d o . s e n θ . I x x F p r e s s ã o

O ângulo que a placa faz com a horizontal é 90 ° e γ á g u a   é:

γ á g u a = 998.9,8 = 9780,4

A força de pressão a gente já calculou. Por fim falta apenas o momento de inércia da placa. Como é uma placa semicircular, o momento de inercia dessa figura:

I x x = π 8 R 4

I x x = 0 , 393 . R 4

Atenção. Aqui usamos o momento de inércia xx, que é o momento de inércia relativo à rotação em torno do eixo paralelo ao x que passa pelo centro de gravidade.

O Raio nós temos, então:

I x x = 0 , 393   .   3,048 4 = 33,92

Jogando isso tudo na fórmula temos:

Y c p c g = - 9780,4 33,92   903885  

Y c p c g = - 0 , 367   m

Lembrando que isso é em relação ao centro de gravidade, o que significa que a posição do centro de pressão é:

Y c p = Y c g + Y c p c g

Y c p = 1,29 - 0 , 367 = 0,923   m

Então ficamos assim:

Beleza, agora podemos escrever a equação de momento, lembrando que as distâncias devem ser em relação ao ponto B .

∑ M = 0 = F p r e s s ã o . Y c p - F A . Y A

∑ M = 0 = 903885   .   0,923 - F A   .   3,048

Isolando F A , temos:

F A = 903885   .   0,923 3,048 = 273896   N

Resposta

  F A = 273896   N

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