Exercícios Resolvidos de Força em Comportas

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Enunciado

A comporta A B na Figura abaixo tem 1,5   m de largura, está articulada em A e limitada por um limitador em B . A água está a 20 °   C . Calcule ( a ) a força no limitador B e ( b ) as reações em A se a profundidade da água é h = 2,85   m .

Passo 1

a   Para resolvermos esse item precisamos descobrir o valor da força causada pela pressão de água na comporta, no ponto onde essa pressão está sendo aplicada, c p . E após isso, vamos usar o fato dela estar parada para descobrir a força aplicada no limitador B . Para isso vamos usar:

∑ M = 0

Como disse teremos a atuação da força de pressão no centro de pressão ( c p ) e da força no limitador impedindo que a comporta abra.

Montando a equação de momento em relação ao ponto A , temos:

∑ M = 0 = F p r e s s ã o . ( 1,2 - Y c p ) - F B . ( 1,2 - Y B )

Lembrando que as distâncias são em relação ao ponto A . E por isso fizemos 1,2 - Y a gente já tem Y B = 0   m .

E por isso para resolvermos o problema basta descobrirmos a força de pressão e a posição do centro de pressão.

Passo 2

Já sabemos como resolver, agora só falta atacar mesmo né?!

Na teoria vimos que a força de pressão é dada por:

F p r e s s ã o = P c g .   A c o m p o r t a = ρ f l u i d o . g . h c g . A c o m p o r t a

A densidade da água a 20 ° C a gente sabe que é 998   k g / m 3 . A aceleração da gravidade é 9,8   m / s 2 . E a profundidade do centro de gravidade a gente tem que calcular.

O centro de gravidade de uma chapa retangular fica bem no meio, assim a posição do centro de gravidade em relação ao fundo, ponto B , é:

y c g = 1,2 2 = 0,6   m

Mas a gente quer a profundidade e por isso temos que fazer a profundidade total do fluido menos a posição do centro de gravidade em relação ao fundo.

h c g = h - y c g

h c g = 2,85 - 0,6 = 2,25   m

E por fim vamos calcular a área da comporta.

A c o m p o r t a = 1,5   .   1,2 = 1,8   m 2

Podemos então calcular a força de pressão na comporta.

F p r e s s ã o = 998   .   9,8   .   2,25   . 1,8

F p r e s s ã o = 39.610,6   N

Passo 3

Agora vamos encontrar a posição do centro de pressão. Bem, estamos interessados só na posição Y , pois é dela que precisamos para aplicar a equação de momento.

Assim, na teoria vimos que a fórmula para encontrar o centro de pressão em relação ao centro de gravidade é:

Y c p c g = - γ f l u i d o . s e n θ . I x x F p r e s s ã o

O ângulo que a placa faz com a horizontal é 90 ° e γ á g u a   é 998 * 9,8 = 9780,4   N / m 3

A força de pressão a gente já calculou. Por fim falta apenas o momento de inércia da placa. Como é uma placa retangular o momento de inércia é:

I x x = b a s e . h 3 12

A base é a largura, que vale 1,5   m . A altura também foi dada e vale 1.2   m . Assim o momento de inércia é:

I x x = 1,5 . 1,2 3 12 = 0,216   m 4

Jogando isso tudo na fórmula temos:

Y c p c g = - 9780,4 0,216   39.610,6  

Y c p c g = - 0,053   m

Lembrando que isso é em relação ao centro de gravidade, o que significa que a posição do centro de pressão é:

Y c p = Y c g + Y c p c g

Y c p = 0,6 - 0,053 = 0,547   m

Então ficamos assim:

Beleza, agora podemos voltar para a equação do momento, lembrando que as distâncias devem ser em relação ao ponto A .

∑ M = 0 = F p r e s s ã o . Y c p - F B . Y B

∑ M = 0 = 39610,6 . 1,2 - 0,547 - F B . 1,2 - 0

0 = 39610,6 . 0,653 - F B . 1,2

Isolando F B , temos:

F B = 39610,6   .   0,653 1,2 = 21.554,77   N

Passo 4

b   Agora queremos a reação em A.

O jeito mais fácil de fazer isso é usando o fato que para estar parado o somatório de força tem que ser zero.

∑ F = 0

As forças atuantes são: A força de reação F A , a força de pressão F p r e s s ã o e a força de reação F B . Assim, temos que:

F p r e s s ã o - F A - F B = 0

Isolando F A , temos:

F A = F p r e s s ã o - F B

Já encontramos o valor das duas forças, então basta substituir

F A = 39610,6 -   21554,77

F A = 18.055,83   N

Vale ressaltar que não temos a atuação de forças na direção do eixo x , que é na direção da largura da comporta, por isso a reação nessa direção é zero. F A X = 0 .

Resposta

a   F B = 21.554,77   N = 21,6   k N

b   F A = 18.055,83   N = 18,1   k N

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