Exercícios Resolvidos de Forças Conservativas

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Enunciado

Uma bolinha presa a um fio de massa desprezível gira em torno de um eixo vertical com velocidade escalar constante, mantendo-se a uma distância d = 0,5   m do eixo; o ângulo θ é igual a 30 ° . O fio passa sem atrito através de um orifício O numa placa, e é puxado lentamente para cima até que o ângulo θ passa a 60   ° .

( a ) Que comprimento do fio foi puxado?

Passo 1

Eaew, tudo bem?

O enunciado descreve o seguinte esquema

a bolinha de massa m gira com velocidade escalar constante ao longo de uma circunferência. O ângulo θ é igual a 30   ° quando a distância entre o eixo e a bolinha é d = 0,5   m , se puxarmos o fio aumentamos o ângulo θ para 60   ° , sabendo isso queremos saber

( a ) Que comprimento do fio foi puxado?

Para isso vamos analisar a forma como a velocidade angular do sistema varia com a diminuição do comprimento do fio e o aumento do ângulo, assim como a distância d . Vamos primeiro analisar a forma como a força centrípeta que causa o movimento circular evoluí! Saca só!

Passo 2

Temos o seguinte diagrama de forças

Note que a força centrípeta será a componente em x da tensão, portanto, podemos obter que na situação inicial temos a seguinte relação entre a velocidade escalar e a circunferência

| T → | s e n ( 30 ° ) = m v 2 d

em que d é o raio da circunferência! Se usarmos que

v = ω   d

temos que a expressão se torna

| T → | s e n ( 30 ° ) = m ω 2 d

Mas como iremos relacionar isso com o comprimento do fio?? Tenhamos calma, isso irá surgir através do “raio” da circunferência d .

Passo 3

Usando a componente vertical do sistema de forças, temos que

| T → | c o s ( 30 ° ) = m g

e, portanto, obtemos que

| T → | = m g c o s ( 30 ° )

usando esta relação na obtida no passo anterior, temos que

g d   t g ( 30 ° ) = v 2

Analogamente, se fizermos o processo após puxarmos o fio, obteremos

g d '   t g ( 60 ° ) = v ' 2

Nós iremos precisar analisar a conservação do momentum angular, portanto, vamos escrever as relações acima em termos da velocidade angular, temos que

v = ω   d

de forma que as duas equações que iremos trabalhar são

g   t g ( 30 ° ) d = ω 2 e g   t g ( 60 ° ) d ' = ω ' 2         ( 1 )

Vamos lá!

Passo 4

O momentum angular pode ser escrito em termos da velocidade angular como

L = I ω

Uma bolinha pode ser considerada um ponto, e portanto, o seu momento de inércia é tal que

I = m   d 2

Portanto, temos que

L i = m   d 2   ω e L f = m d ' 2 ω '

pela conservação do momentum angular obtivemos que

ω ' ω = d 2 d ' 2

elevando ambos os lados ao quadrado temos a relação

ω ' 2 ω 2 = d 4 d ' 4         ( 2 )

Vamos juntar agora as duas relações que obtivemos! Bora Bora!

Passo 5

Se dividirmos as duas relações na equação ( 1 ) de forma que

ω ' 2 ω 2 = g   t g ( 60 ° ) / d ' g   t g ( 30 ° ) / d ≈ t g ( 60 ° ) t g ( 30 ° ) d d '

ou seja, usando a relação ( 2 ) obtemos finalmente que

d 3 d ' 3 = t g ( 60 ° ) t g ( 30 ° )

de forma que podemos obter a distância d ' como

d ' = 0,35   m

Uff… Finalmente podemos obter que o novo comprimento do fio é dado por

s e n ( 60 ) = 0,35 L '

e, portanto, temos que

L ' = 0,40   m

usando que o comprimento inicial pode ser obtido analogamente como

s e n ( 30 ) = 0,5 L

portanto, temos que

L = 1   m

Portanto, temos que

Δ L = 0,60   m

A primeira alternativa já foi! Vamos que vamos para a próxima!

Resposta

Δ L = 0,60   m

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