Exercícios Resolvidos de Forças Conservativas

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Enunciado

A figura mostra uma partícula que se movimenta sob a ação da força F → 0 = F 0 n ^ , onde F 0 é constante e n ^ é um vetor unitário constante como mostrado na figura. A partícula é movimentada do ponto a até o b , com vetores de posição r → a   e   r → b em relação a uma origem O , seguindo a trajetória mostrada na figura. Em relação ao trabalho realizado pela força F → 0 para levar a partícula de a até b , W a → b , pode-se dizer:

(a) Não é possível calcular o trabalho sem conhecer a curva que representa a trajetória entre a e b .

(b) W a → b = F 0 s e n θ r → b - r → a e W a → b ≠ - W b → a .

(c) W a → b = F 0 s e n θ r → b - r → a e W a → b = - W b → a .

(d) W a → b = F 0 c o s θ r → b - r → a e W a → b = W b → a .

(e) W a → b = F 0 c o s θ r → b - r → a e W a → b = - W b → a .

Passo 1

Como essa força F → 0 tem módulo constante e está sempre apontando na mesma direção, ela será uma força conservativa.

Pensa no exemplo da força peso P → , uma força sempre com o mesmo módulo m g e apontando para baixo na superfície, ele é uma força conservativa.

Isso não significa que todas as forças conservativas atendem a essas carcterísticas (por exemplo a força elástica), a definição é um pouco mais complexa e geral que isso, porém não vamos entrar nisso aqui.

Tá bom, mas e daí que ela é uma força conservativa?

Se ela é uma força conservativa, o seu trabalho só depende da posição final e inicial da partícula e não da sua trajetória.

Ahhh, então se a gente conhece a posição inicial r → a e a posição final r → b , conseguimos calcular o trabalho dessa força F → 0 nesse percurso.

Passo 2

O trabalho de uma força constante é dado pelo produto escalar entre a força e o deslocamento:

W = F → ∙ d →

Podemos calcular esse produto escalar com os módulos dos vetores F → e d → vezes o cosseno do ângulo entre eles:

W = F d c o s θ

Passo 3

Bom, o módulo da força nós já sabemos... F 0 .

Mas quem é esse vetor deslocamento d → ?

Como a trajetória em si não importa para o trabalho, vamos considerar o deslocamento entre as duas posições r → a e r → b como o vetor que liga o ponto inicial ao ponto final:

Esse vetor d → será a posição final r → b menos a inicial r → a :

d → = r → b - r → a

E seu módulo será:

d → = r → b - r → a

Por último, o ângulo entre os vetores F → 0 e d → é o próprio ângulo θ .

Passo 4

Agora, podemos calcular o trabalho:

W = F d c o s θ

W a → b = F 0 r → b - r → a c o s θ

Podemos pensar também que a componente da força F 0 c o s θ está na mesma direção do deslocamento:

Assim, o trabalho é o produto dessa componente de força pelo deslocamento.

W a → b = F 0 c o s θ r → b - r → a

Passo 5

Por último, precisamos comparar o trabalho do ponto a ao ponto b com o trabalho do ponto b ao ponto a .

Quando invertemos o vetor deslocamento:

Se olharmos para a componente da força que está na mesma direção do vetor deslocamento, podemos ver que ela é contrária ao deslocamento, ou seja, seu trabalho é negativo:

W b → a = - F 0 c o s θ d

W b → a = - F 0 c o s θ r → b - r → a

Assim, podemos ver que o trabalho W b → a é o mesmo em módulo que o trabalho W a → b , mas com o sinal negativo:

  W a → b = - W b → a

Além disso, poderíamos nos basear em outro argumento também...

O trabalho de uma força conservativa num percurso fechado é sempre nulo.

Isso acontece porque o ponto inicial e final são os mesmos. Ou seja, como o trabalho só depende do deslocamento e não da trajetória, teremos um trabalho nulo para um deslocamento nulo.

Assim, se a partícula for de a até b e depois voltar de b até a , a soma desses trabalhos será zero:

W a → b + W b → a = 0

W a → b = - W b → a

Ficamos com a letra (e).

Resposta

Letra (e)

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