Exercícios Resolvidos de Forças Conservativas

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Enunciado

Uma partícula de massa m   =   2,0   k g pode se deslocar ao longo do eixo x horizontal, orientado positivamente para a direita (vide figura). Sobre ela atua uma única força conservativa e variável F ( x ) , cuja energia potencial associada U ( x ) está representada na figura abaixo. Inicialmente, a partícula encontra-se em x   =   1,0   m com velocidade v   =   3,0   m / s .

(a) Calcule a velocidade da partícula em x   =   4,0   m .

(b) Qual é o trabalho realizado pela força F entre x   =   1,0   m e x   =   6,0   m ? Justifique sua resposta.

(c) Quando a partícula passa por x   =   7,0   m , a força é para a esquerda ou para a direita? Calcule o módulo da força nessa posição.

Passo 1

(a) Da soma das energias potencial e cinética em x   =   1,0   m determinanos a energia mecânica do sistema,

E m = U x = 1,0 m + 1 2 m v x = 1,0 m 2 = 21 J + 2 k g   .   3 2 2 = 30 J

A velocidade da partícula em x   =   4,0   m , v , é obtido da conservação da energia mecânica do sistema,

30 J = U x = 4,0 m + 1 2 m v 2 = 5 J + 2 k g   .   v 2 2 → v 2 = 25 m 2 / s 2

v = ± 5 m / s

Passo 2

(b) A variação da energia potencial, ∆ U   =   U ( x 2 )   -   U ( x 1 ) , associada a uma força conservativa é definida como menos o trabalho realizado por esta força, W   = ∫ x 1 x 2 F d x   . Portanto, o trabalho realizado pela força F entre x   =   1,0   m e x   =   6,0   m , W , é dado por

W = - [ U ( 6,0   m )   -   U ( 1,0   m ) ]   =   - ( 5   J   -   21   J )   =   16   J  

Passo 3

Como F   =   - d U d x e d U d x > 0 em x   =   7,0   m , então F ( 7,0   m ) < 0 e o sentido desta força é para a esquerda. O módulo dessa força pode ser obtido do fato de U ( x ) entre x   =   6,0   m e x   =   8,0   m ser uma reta. Logo,

F 7,0   m =   - d U d x   7,0 m = - U 8,0   m -   U 6,0   m 8,0   -   6,0 = - 25   -   5 2 = - 20 2 = - 10

F 7,0   m = - 10   N

Resposta

(a) v = ± 5 m / s

(b) W = 16 J

(c) F 7,0 m = - 1 0 N

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