Exercícios Resolvidos de Forças em Duas Dimensões

E J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 27.2/17

Determine as componentes da força de 2 k N ao longo dos eixos oblíquos a e b . Determine as projeções de F → sobre os eixos a e b .

Passo 1

Vamos começar pela projeção mais fácil: A do eixo a , P a . Vamos lembrar que vamos projetar o vetor ao longo do eixo a , como se fosse a sombra desse vetor.

Como sabemos exatamente qual é o ângulo que a força faz com o eixo a , podemos simplesmente multiplicar a força pelo cosseno desse ângulo:

| P → a | = 2 . c o s 45 ° = 1,414 k N

Isso pode ser mostrado visualmente como:

Essa força em vermelho é uma das componentes da força de 2   k N ! Componente nada mais é do que dividir um vetor em outros eixos, olha só um caso geral:

Aqui a força F dividi-se em duas componentes F 1 e F 2 . Observe também que a soma dessas componentes é a própria força F .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já pra calcular a projeção da força no eixo b , basta a gente perceber que o ângulo que a força faz com esse eixo vale 15 ° :

Podemos olhar também apenas as partes importantes para esse caso:

Afinal de contas, 45 ° + 15 ° = 60 ° . Assim, podemos dizer que a projeção de F → no eixo b vale:

| P → b | = 2 . cos ⁡ 15 ° = 1,93 k N

Passo 3

Para achar as componentes, vamos usar a lei dos senos, já que os eixos não são os eixos x   e   y .

As componentes da força nas direções a   e   b estão representadas abaixo:

Perceba que componente e projeção são termos distintos, a soma das componentes sempre vai dar o vetor original!! Enquanto a soma das projeções (das sombras) irá dar um valor diferente da força F (pelo fato dos eixos não serem perpendiculares)

Se deslocarmos o vetor F → b (que é a componente de F em b ), mantendo a sua direção e sentido, formamos o seguinte triângulo:

Não sabemos quanto vale β , mas como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180 ° :

45 ° + 15 ° + β = 180 ° → β = 120 °

Assim:

Pela lei dos senos:

2 s e n 120 ° = F → a s e n 15 ° = F → b s e n 45 °

Assim:

F → a = 2 . s e n 15 ° s e n 120 ° = 0,598 k N

F → b = 2 . s e n 45 ° s e n 120 ° = 1,633 k N

Resposta

| P → a | = 1,414 k N

| P b → | = 1,93 k N

F → a = 0,598 k N

F → b = 1,633 k N

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