Exercícios Resolvidos de Forma Quadrática – Quádricas

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Enunciado

Considere a função f x , y = 4 x 2 + y 2 + 1

a) Encontre o domínio e a imagem de f ( x , y )

b) O gráfico de f ( x , y ) é uma superfície quádrica? Se a resposta for sim, identifique a superfície e esboce gráfico de f .

c) Indentifique as curvas de nível da função f e esboce um mapa de contorno. Explique a relação entre o mapa de controno e o gráfico de f x , y .

Passo 1

a) Nosso domínio será inciailamente garantir que o que está dentro da raiz seja positivo. Então temos:

4 x 2 + y 2 + 1 ≥ 0

4 x 2 + y 2 ≥ - 1

Para imagem temos apenas I m f x , y =   ] - ∞ , 1 ]

Passo 2

b) Só de olhar pra carinha da função da pra ver que ela é uma superfície quádrica sim! Ou seja, tem sua simetria entre seus eixos.

Aí você me pergunta, amigo, mas como eu saio disso f x , y = 4 x 2 + y 2 + 1   pra essa imagem aí? Simples!

z = 4 x 2 + y 2 + 1

z 2 = 4 x 2 + y 2 + 1

Opa, olha como isso tem a carinha de um hiperboloide, o detalhe é esse +1 que desloca a função pra z positivo, formando então um hiperbolóde de duas folhas! No caso, estamos trabalhando com o lado positivo.

Passo 3

c) agora sobre as curvas de nível, para identificalas, vamos fixar um C qualquer:

f x , y = C = 4 x 2 + y 2 + 1

C 2 = 4 x 2 + y 2 + 1

C 2 - 1 = 4 x 2 + y 2

Opa, isso faz com que a gente perceba que as curvas de nível serão elipses conforme o C varia.

Queremos agora montar o mapa de contorno com alguns C que facilitem nossa vida pra desenhar. Ou seja, C 2 - 1 = 4 x 2 + y 2 , onde 4 x 2 + y 2 = n u m é r o s   q u a d r a d o s   s i m p l e s .

Vou escolher como esse snpumeros quadrados 1, 4, 9 e 16 para desenhar 4 curvas.

Assim temos:

C 2 - 1 = 1 → c = 2

C 2 - 1 = 4 → c = 5

C 2 - 1 = 9 → c = 10

C 2 - 1 = 16 → c = 17

Eis então o esboço.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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