Exercícios Resolvidos de Forma Quadrática – Quádricas

Alfredo Steinbruch, Álgebra Linear, 2ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., pp 368 - 9

Identifique que a Quádrica na forma quadrática abaixo

3 x 2 + 5 y 2 + 3 z 2 - 2 x y + 2 x z - 2 y z - 4 x + 6 y - 2 z = 0

Passo 1

Primeiramente, observamos que essa não é uma quádrica do jeito que estamos acostumados. Os termos elevados a potência 1 e os termos mistos nos levam a pensar que ela está com o centro deslocado e rotacionada.

Vamos escrever a sua equação na forma matricial:

x y z   3 - 1 1 - 1 5 - 1 1 - 1 3 Q   x y z +   - 4 6 - 2   x y z = J

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Passo 2

A partir da matriz Q , encontramos seus autovalores.

Para calcular os autovalores de uma matriz 3x3:

Q = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Devemos fazer:

det λ I - Q = 0

Isso implica:

λ - a 11 - a 12 - a 13 - a 21 λ - a 22 - a 23 - a 31 - a 32 λ - a 33   = 0  

No nosso caso:

Q = 3 - 1 1 - 1 5 - 1 1 - 1 3

Então temos:

λ - 3 1 - 1 1 λ - 5 1 - 1 1 λ - 3   = 0  

Calculando:

λ - 3 λ - 5 λ - 3 - 1 - 1 λ - 3 + 1 - 1 1 - λ - 5 = 0

Temos então:

λ 3 - 11 λ 2 + 36 λ - 36 = 0

Vamos procurar raízes através dos divisores tanto positivos quanto negativos do coeficiente do termo de menor grau dividido pelo coeficiente do termo de maior grau. Isso é:

Divisores de ± 36 1 = ± 36

São eles: ± 36 , ± 18 , ± 12 , ± 9 , ± 6 , ± 4 , ± 3 , ± 2 , ± 1

Vai dar trabalho, mas ao testar esses valores verificamos que as raízes são:

λ 1 = 2 , λ 2 = 3 , λ 3 = 6

Passo 3

Precisamos encontrar os autovetores unitários.

Vamos calcular o autovetor referente a λ 1 .Para isso faremos:

Q - λ 1 I   U = 0

Temos:

3 - 2 - 1 1 - 1 5 - 2 - 1 1 - 1 3 - 2 U 1 U 2 U 3 = 0 0 0

Então:

1 U 1 - U 2 + 1 U 3 = 0

- 1 U 1 + 3 U 2 - U 3 = 0

U 1 - U 2 + U 3 = 0

Da primeira equação:

U 1 = U 2 - U 3

Substituindo na segunda:

- U 2 + U 3 + 3 U 2 - U 3 = 0

U 2 = 0

Fica:

U = - U 3 , 0 , U 3

Arbitrando valores para U 3 temos:

U = - 1,0 , 1

Achando o autovetor unitário temos:

u = - 1 2 , 0 , 1 2  

Passo 4

Calculando agora o autovetor referente a λ 2 faremos:

Q - λ 2 I   V = 0

Temos:

3 - 3 - 1 1 - 1 5 - 3 - 1 1 - 1 3 - 3 V 1 V 2 V 3 = 0 0 0

Então:

0 V 1 - V 2 + V 3 = 0

- 1 V 1 + 2 V 2 - V 3 = 0

V 1 - V 2 + 0 V 3 = 0

Da primeira equação:

V 2 = V 3

Substituindo na segunda:

- V 1 + 2 V 3 - V 3 = 0

V 1 = V 3

Fica:

V = V 3 , V 3 , V 3

Arbitrando valores para V 3 temos:

V = 1,1 , 1

Achando o autovetor unitário temos:

v = 1 3 , 1 3 , 1 3  

Passo 5

Calculando agora o autovetor referente a λ 3 faremos:

Q - λ 3 I   W = 0

Temos:

3 - 6 - 1 1 - 1 5 - 6 - 1 1 - 1 3 - 6 W 1 W 2 W 3 = 0 0 0

Então:

- 3 W 1 - W 2 + W 3 = 0

- W 1 - W 2 - W 3 = 0

W 1 - W 2 - 3 W 3 = 0

Da primeira equação:

W 1 = ( W 3 - W 2 ) / 3        

Substituindo na segunda:

- W 3 - W 2 3 - W 2 - W 3 = 0

W 2 = - 2 W 3

Fica:

W = W 3 , - 2 W 3 , W 3

Arbitrando valores para W 3 temos:

W = 1 , - 2,1

Achando o autovetor unitário temos:

w = 1 6 , - 2 6 , 1 6  

Passo 6

Agora que calculamos os autovalores e autovetores, podemos jogar os valores encontrados na equação matricial:

x ' y ' z ' λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 x ' y ' z ' + G H I u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 x ' y ' z ' = J

Fica:

x ' y ' z ' 2 0 0 0 3 0 0 0 6 x ' y ' z ' + - 4 6 - 2 - 1 / 2 1 / 3 1 / 6 0 1 / 3 - 2 / 6 1 / 2 1 / 3 1 / 6 x ' y ' z ' = 0

Fazendo essa multiplicação matricial chegamos em:

2 x ' 2 + 2 2 x ' + 3 y ' 2 + 6 z ' 2 - 18 z ' 6 = 0

Passo 7

Agora é só completar quadrados:

2 x ' 2 + 2 2 x ' = 2 x ' 2 + 1 2 x ' = 2 x ' + 1 2 2 2 - 1 8 = 2 x ' + 1 2 2 2 - 1 4

6 z ' 2 - 18 z ' 6 = 6 z ' 2 - 3 6 z ' = 6 z ' - 3 2 6 2 - 9 4

Substituindo na equação temos:

2 x ' 2 + 2 2 x ' + 3 y ' 2 + 8 3 y ' + 6 z ' 2 - 14 z ' 6 = 0

2 x ' + 1 2 2 2 - 1 4 + 3 y ' 2 + 6 z ' - 3 2 6 2 - 9 4 = 0

Ajeitando:

2 x ' + 1 2 2 2 + 3 y ' 2 + 6 z ' - 3 2 6 2 = 10 4

x ' + 1 2 2 2 10 8 + y ' 2 10 12 + z ' - 3 2 6 2 10 24 = 1

Que é a equação do elipsoide.

Resposta

A quádrica é um elipsoide.

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