Exercícios Resolvidos de Forma Quadrática – Quádricas

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Enunciado

3 . Considere o paraboloide

S   =   x ,   y ,   z ∈ R 3     z = x 2 + y ² }  

e o plano

P   =   { ( x ,   y ,   z )   ∈ R 3 |   z   =   1   +   2 x   +   2 y }  

( a ) (1.0) Determine a equação da projeção no plano   x y da curva interseção do paraboloide S com o plano P e faça um esboço desta curva.

( b ) (1.0) Encontre uma parametrização da curva interseção de S com P .

Passo 1

O ponta pé inicial para a gente resolver esse exercício é descobrir a curva da interseção pois é isso que o item a nos pede e para resolver o item b precisamos dela e vamos conseguir ela igualando a equação do paraboloide com o plano e mexendo um pouquinho nela.

Ainda tá com dúvida? Vamos resolver tudo bonitinho então pra você!

Passo 2

a ) Como falei no item anterior vamos igualar as duas equações:

x 2 + y 2 = 1   +   2 x   +   2 y   ⇒     x 2 - 2 x + y 2 - 2 y = 1

Completando quadrado:

x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 - 2 y + 1 - 1 = 1   ⇒ x - 1 2 + y - 1 2 = 3

A projeção da curva de interseção no plano x y é um círculo com centro 1,1 e raio 3 .

Passo 3

b ) Agora só nos resta fazer a parametrização do círculo que encontramos no item anterior.

Sabemos que:

x = r cos ⁡ θ ⇒ x - 1 = 3 cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ ⇒ y - 1 = 3 sen ⁡ θ

Sendo assim:

C = 1 + 3 cos ⁡ θ , 1 + 3 sen ⁡ θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π

Resposta

a )

x - 1 2 + y - 1 2 = 3

b )

C = 1 + 3 cos ⁡ θ , 1 + 3 sen ⁡ θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π

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