Exercícios Resolvidos de Forma Quadrática – Quádricas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G3 - 2013.1, Questão 1cd

Considere (em todos os itens dessa questão) a função:

f x , y , z = x 2 + 2 x y + 2 y z + z 2 + 10

E a superfície de nível

S = x , y , z R 3     f x , y , z = 11 }

c) Determine se S é um elipsoide, um paraboloide hiperbólico (sela), um hiperboloide de uma folha ou um hiperboloide de duas folhas, justificando sua resposta.

Dica: Para este item, leve em conta que a matriz:

1 1 0 1 0 1 0 1 1

tem autovalores 1 ,   2 e - 1 .

d) Determine um vetor não nulo v = ( a , b , c ) de maneira que todo plano π ortogonal a v corta S ao longo de elipses, isto é:

π S   é   u m a   e l i p s e

Passo 1

Resolvendo a letra c)

Nesse item, a ideia é fazer o procedimento de autovalores e autovetores pra descobrir qual é a quádrica em questão. Então vamos escrever a expressão de S que é f x . y , z = 11 na forma matricial:

x 2   +   2 x y   +   2 y z   +   z 2   =   1       x y z 1 1 0 1 0 1 0 1 1 x y z = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Feito isso, vamos trabalhar com a matriz encontrada, e achar seus autovalores e seus autovetores UNITÁRIOS associados. Como os autovalores já foram dados no enunciado, basta calcularmos os autovetores associados:

Pra λ 1 = 1 , temos:

1 1 0 1 0 1 0 1 1 x y z = x y z

E resolvendo esse sistema, encontramos que u 1 deve ser múltiplo do vetor 1,0 , - 1 . Como ele tem que ser unitário, tomamos u = 1 2 , 0 , - 1 2 .

Pra λ 2 = 2 , temos:

1 1 0 1 0 1 0 1 1 x y z = 2 x 2 y 2 z

E resolvendo esse sistema, encontramos que u 1 deve ser múltiplo do vetor 1,1 , 1 . Como ele tem que ser unitário, tomamos v = 1 3 , 1 3 , 1 3 .

Pra λ 3 = - 1 , temos:

1 1 0 1 0 1 0 1 1 x y z = - x - y - z

E resolvendo esse sistema, encontramos que u 1 deve ser múltiplo do vetor 1 , - 2,1 . Como ele tem que ser unitário, tomamos w = 1 6 , - 2 6 , 1 6 .

Passo 3

Podemos agora construir a matriz ortogonal que carrega esses autovetores encontrados em colunas:

1 2 1 3 1 6 0 1 3 - 2 6 - 1 2 1 3 1 6

Passo 4

Reescrevendo a equação da quádrica, teremos:

x ' y ' z ' 1 0 0 0 2 0 0 0 - 1 x ' y ' z ' + 0 0 0 1 2 1 3 1 6 0 1 3 - 2 6 - 1 2 1 3 1 6 x ' y ' z ' = 1

E então:

x ' 2 + 2 y ' 2 - z ' 2 = 1

Logo, a superfície S é um hiperboloide de uma folha rotacionado. Sua equação é dada acima nos eixos x ' ,   y ' , z ' , que possuem as direções de u , v e w , respectivamente.

Passo 5

Resolvendo a letra d)

Repare que como a superfície S é dada por: x ' 2 + 2 y ' 2 - z ' 2 = 1 , se interceptarmos essa superfície por planos da forma z ' = c , sendo c uma constante, teremos a expressão da interseção:

x ' 2 + 2 y ' 2 = 1 + c 2

E verificamos que a equação encontrada define uma elipse no plano x ' y ' . Elipse essa que tem equação:

x ' 2 1 + c 2 + y ' 2 1 + c 2 2 = 1

Essa é uma elipse com centro na origem do plano x ' y ' e semieixos iguais a 1 + c 2 e 1 + c 2 2 nas direções de x ' e y ' , respectivamente.

Como nós interceptamos S com planos da forma z ' = c , ou seja, planos ortogonais a ao eixo z ' , concluímos que o vetor v pedido é ortogonal a esses planos. Ou seja, v é paralelo ao eixo z ' !!! Então podemos escolher v igual ao vetor que nos deu a direção do eixo z ' no item c),

v = 1 6 , - 2 6 , 1 6

Resposta

c) Hiperboloide de uma folha

d)

v = 1 6 , - 2 6 , 1 6

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