Exercícios Resolvidos de Forma Quadrática – Quádricas

Alfredo Steinbruch, Álgebra Linear, 2ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., pp 368 - 12

Identifique que a Quádrica na forma quadrática abaixo

7 x 2 + 6 y 2 + 5 z 2 - 4 x y - 4 y z - 18 = 0

Passo 1

Primeiramente, observamos que essa não é uma quádrica do jeito que estamos acostumados. Os termos de potência 1 e os produtos mistos nos levam a pensar que ela está com o centro deslocado e rotacionada.

Vamos escrever a sua equação na forma matricial:

x y z   7 - 2 0 - 2 6 - 2 0 - 2 5 Q   x y z +   0 0 0   x y z = 18

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Passo 2

A partir da matriz Q , encontramos seus autovalores.

Para calcular os autovalores de uma matriz 3x3:

Q = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Devemos fazer:

det λ I - Q = 0

Isso implica:

λ - a 11 - a 12 - a 13 - a 21 λ - a 22 - a 23 - a 31 - a 32 λ - a 33   = 0  

No nosso caso:

Q = 7 - 2 0 - 2 6 - 2 0 - 2 5

Então temos:

λ - 7 2 0 2 λ - 6 2 0 2 λ - 5   = 0  

Calculando o determinante caímos no polinômio característico:

λ 3 - 18 λ 2 + 99 λ - 162 = 0

Vamos tentar encontrar uma raiz testando os primeiros valores dos divisores de 162.

Por exemplo, vamos testar 2 e 3. Substituindo na equação verificamos que 3 é uma raiz. Portanto:

λ 1 = 3

Agora vamos usar o método de briot-ruffini para diminuir um grau na equação. Funciona assim:

A primeira coisa a fazer é escrever essa equação completa, colocando 0 vezes o λ elevado aos graus que não aparecem (já está nessa forma):

λ 3 - 18 λ 2 + 99 λ - 162 = 0

Agora montamos o seguinte quadrinho:

No canto superior esquerdo colocamos os coeficientes da nossa equação, no canto superior direito colocamos o valor na nossa raiz λ = 3 .

Agora nós fazemos os seguintes passos. Primeiro descemos o primeiro coeficiente, que vai ficar:

O próximo passo é multiplicar esse número que baixamos pelo número ali no canto superior direito, e depois somar com o próximo coeficiente.

Nesse caso fazemos

1.3 - 18 = - 15

Esse 1 nessa equação imediatamente acima é o coeficiente, o 3 é o número do canto superior direito e aquele outro - 18 é o próximo coeficiente.

Fazendo essa conta chegamos ao valor - 15 , colocamos esse valor embaixo do coeficiente - 18 , ficando:

Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar:

- 15.3 + 99 = 54

Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar:

54.3 - 162 = 0

Como aquele último cara deu 0 a nossa conta está certinha, se não der 0 alguma conta está errada.

A nossa nova equação vai ser aquela que tem os coeficientes de baixo, tirando aquele 0 , começando com um grau a menos do que o anterior, neste caso vamos ter:

λ 2 - 15 λ + 54 = 0

Resolvendo encontramos:

λ 2 = 6 , λ 3 = 9

Então temos:

λ 1 = 3 , λ 2 = 6 , λ 3 = 9

Passo 3

Precisamos encontrar os autovetores unitários.

Vamos calcular o autovetor referente a λ 1 . Para isso faremos:

Q - λ 1 I   U = 0

Temos:

4 - 2 0 - 2 3 - 2 0 - 2 2 U 1 U 2 U 3 = 0 0 0

Então:

4 U 1 - 2 U 2 + 0 U 3 = 0

- 2 U 1 + 3 U 2 - 2 U 3 = 0

0 U 1 - 2 U 2 + 2 U 3 = 0

Da primeira equação:

U 1 = U 2 2

Da terceira equação temos:

U 3 = U 2

Fica:

U = U 2 2 , U 2 , U 2

Arbitrando valores para U 2 temos:

U = 1 2 , 1,1

Achando o autovetor unitário temos:

u = 1 3 , 2 3 , 2 3

Passo 4

Calculando agora o autovetor referente a λ 2 faremos:

Q - λ 2 I   V = 0

Temos:

1 - 2 0 - 2 0 - 2 0 - 2 - 1 V 1 V 2 V 3 = 0 0 0

Então:

1 V 1 - 2 V 2 + 0 V 3 = 0

- 2 V 1 + 0 V 2 - 2 V 3 = 0

0 V 1 - 2 V 2 - V 3 = 0

Da primeira equação:

V 1 = 2 V 2

Da terceira equação:

V 3 = - 2 V 2

Fica:

V = 2 V 2 , V 2 , - 2 V 3

Arbitrando valores para V 2 temos:

V = 2,1 , - 2

Achando o autovetor unitário temos:

v = 2 3 , 1 3 , - 2 3  

Passo 5

Calculando agora o autovetor referente a λ 3 faremos:

Q - λ 3 I   W = 0

Temos:

- 2 - 2 0 - 2 - 3 - 2 0 - 2 - 4 W 1 W 2 W 3 = 0 0 0

Então:

- 2 W 1 - 2 W 2 + 0 W 3 = 0

- 2 W 1 - 3 W 2 - 2 W 3 = 0

0 W 1 - 2 W 2 - 4 W 3 = 0

Da primeira equação:

W 1 = - W 2        

Da terceira:

W 3 = ( - W 2 ) / 2      

Fica:

W = - W 2 , W 2 , - W 2 2

Arbitrando valores para W 2 temos:

W = - 1,1 , - 1 2

Achando o autovetor unitário temos:

w = - 2 3 , 2 3 , - 1 3  

Passo 6

Agora que calculamos os autovalores e autovetores, podemos jogar os valores encontrados na equação matricial:

x ' y ' z ' λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 x ' y ' z ' + G H I u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 x ' y ' z ' = J

Fica:

x ' y ' z ' 3 0 0 0 6 0 0 0 9 x ' y ' z ' + 0 0 0 1 / 2 2 / 3 - 2 / 3 1 1 / 3 2 / 3 1 - 2 / 3 - 1 / 3 x ' y ' z ' = 18

Fazendo essa multiplicação matricial chegamos em:

3 x ' 2 + 6 y ' 2 + 9 z ' 2 = 18

x ' 2 6 + y ' 2 3 + z ' 2 2 = 18

Que é a equação de um elipsoide.

Resposta

A quádrica é um elipsoide.

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