Exercícios Resolvidos de Forma Quadrática – Quádricas

Alfredo Steinbruch, Álgebra Linear, 2ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., pp 368 - 10

Identifique que a Quádrica na forma quadrática abaixo

y 2 - 4 x z - 4 x + 2 y - 3 = 0

Passo 1

Primeiramente, observamos que essa não é uma quádrica do jeito que estamos acostumados. Os termos de potência 1 e os produtos mistos nos levam a pensar que ela está com o centro deslocado e rotacionada.

Vamos escrever a sua equação na forma matricial:

x y z   0 0 - 2 0 1 0 - 2 0 0 Q   x y z +   - 4 2 0   x y z = 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A partir da matriz Q , encontramos seus autovalores.

Para calcular os autovalores de uma matriz 3x3:

Q = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Devemos fazer:

det λ I - Q = 0

Isso implica:

λ - a 11 - a 12 - a 13 - a 21 λ - a 22 - a 23 - a 31 - a 32 λ - a 33   = 0  

No nosso caso:

Q = 0 0 - 2 0 1 0 - 2 0 0

Então temos:

λ 0 2 0 λ - 1 0 2 0 λ   = 0  

Calculando:

λ λ - 1 λ - 0 - 0 0 - 0 - 2 0 - 2 λ - 1   = 0

Ajeitando:

λ 3 - λ 2 - 4 λ + 4 = 0

λ 2 λ - 1 - 4 λ - 1 = 0

Colocando em evidência:

λ - 1 λ 2 - 4 = 0

λ - 1 λ + 2 λ - 2 = 0

Logo, os autovalores são:

λ 1 = 1 , λ 2 = - 2 , λ 3 = 2

Passo 3

Precisamos encontrar os autovetores unitários.

Vamos calcular o autovetor referente a λ 1 .Para isso faremos:

Q - λ 1 I   U = 0

Temos:

- 1 0 - 2 0 0 0 - 2 0 - 1 U 1 U 2 U 3 = 0 0 0

Então:

1 U 1 + 0 U 2 - 2 U 3 = 0

0 U 1 + 0 U 2 - 0 U 3 = 0

- 2 U 1 + 0 U 2 + - 1 U 3 = 0

Multiplicando a primeira linha por 2 e somando com a terceira:

2 U 1 + 0 U 2 - 4 U 3 - 2 U 1 + 0 U 2 + - 1 U 3 = 0

Temos:

- 5 U 3 = 0

U 3 = 0

Da primeira linha temos que:

U 1 = 2 U 3 = 0

E U 2 ? Não temos restrição nenhuma... Pode ser qualquer constantes. U 2 = C

Fica:

U = 0 , C , 0

Arbitrando valores para U 2 temos:

U = 0,1 , 0

Achando o autovetor unitário temos:

u = 0,1 , 0  

Passo 4

Calculando agora o autovetor referente a λ 2 faremos:

Q - λ 2 I   V = 0

Temos:

2 0 - 2 0 3 0 - 2 0 2 V 1 V 2 V 3 = 0 0 0

Então:

2 V 1 - 0 V 2 - 2 V 3 = 0

0 V 1 + 3 V 2 + 0 V 3 = 0

- 2 V 1 + 0 V 2 + 2 V 3 = 0

Da primeira equação:

V 1 = V 3

Da segunda equação temos:

V 2 = 0

Fica:

V = V 3 , 0 , V 3

Arbitrando valores para V 3 temos:

V = 1,0 , 1

Achando o autovetor unitário temos:

v = 1 2 , 0 , 1 2  

Passo 5

Calculando agora o autovetor referente a λ 3 faremos:

Q - λ 3 I   W = 0

Temos:

- 2 0 - 2 0 - 1 0 - 2 0 - 2 W 1 W 2 W 3 = 0 0 0

Então:

- 2 W 1 + 0 W 2 - 2 W 3 = 0

0 W 1 - W 2 + 0 W 3 = 0

- 2 W 1 + 0 W 2 - 2 W 3 = 0

Da primeira equação:

W 1 = - W 3        

Da segunda:

W 2 = 0

Fica:

W = - W 3 , 0 , W 3

Arbitrando valores para W 3 temos:

W = - 1,0 , 1

Achando o autovetor unitário temos:

w = - 1 2 , 0 , 1 2  

Passo 6

Agora que calculamos os autovalores e autovetores, podemos jogar os valores encontrados na equação matricial:

x ' y ' z ' λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 x ' y ' z ' + G H I u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 x ' y ' z ' = J

Fica:

x ' y ' z ' 1 0 0 0 - 2 0 0 0 2 x ' y ' z ' + - 4 2 0 0 1 2 - 1 2 1 0 0 0 1 2 1 2 x ' y ' z ' = 3

Fazendo essa multiplicação matricial chegamos em:

x ' 2 + 2 x ' - 2 y ' 2 - 4 2 y ' + 2 z ' 2 + 4 z ' 2 = 3

Passo 7

Agora é só completar quadrados:

x ' 2 + 2 x ' = x ' + 1 2 - 1

- 2 y ' 2 - 4 2 y ' = - 2 y ' 2 + 2 2 y ' = - 2 y ' + 1 2 2 - 1 2 = - 2 y ' + 1 2 2 + 1

2 z ' 2 - 4 z ' 2 = 2 z ' 2 - 2 2 z ' = 2 z ' - 1 2 2 - 1 2 =     2 z ' - 1 2 2 - 1          

Substituindo na equação temos:

x ' 2 - 2 x ' - 2 y ' 2 - 4 2 y ' + 2 z ' 2 + 4 z ' 2 = 3

x ' + 1 2 - 1 - 2 y ' + 1 2 2 + 1 + 2 z ' - 1 2 2 - 1 - 3 = 0

Ajeitando:

x ' + 1 2 - 2 y ' + 1 2 2 + 2 z ' - 1 2 2 = 4

x ' + 1 2 4 - y ' + 1 2 2 2 + z ' - 1 2 2 2 = 1

Que é a equação do hiperboloide de uma folha.

Resposta

Hiperboloide de uma folha.

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