Exercícios Resolvidos de Forma Quadrática – Quádricas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G4 - 2015.1, Questão 1a

Seja f x , y , z = x 2 + 3 y 2 + z 2 - 2 x y

a) Classifique a quádrica f x , y , z = 1 , como elipsóide, hiperboloide de uma folha ou hiperboloide de duas folhas, justificando sua resposta.

Passo 1

a) Primeiramente, observamos que essa não é uma quádrica do jeito que estamos acostumados, devido ao termo - 2 x y   . Isso nos leva a pensar que ela está rotacionada.

Vamos escrever a sua equação na forma matricial:

x y z   1 - 1 0 - 1 3 0 0 0 1 Q   x y z +   0 0 0   x y z = 1

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Passo 2

A partir da matriz Q , encontramos seus autovalores.

Para calcular os autovalores de uma matriz 3x3:

Q = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Devemos fazer:

det λ I - Q = 0

Isso implica:

λ - a 11 - a 12 - a 13 - a 21 λ - a 22 - a 23 - a 31 - a 32 λ - a 33   = 0  

No nosso caso:

1 - 1 0 - 1 3 0 0 0 1

Então temos:

λ - 1 1 0 1 λ - 3 0 0 0 λ - 1   = 0  

Calculando:

λ - 1 λ - 3 λ - 1 - λ - 1 - 0 0 = 0

Temos então:

λ - 1 λ 2 - 4 λ + 2 = 0

As raízes são λ 1 = 1 ; λ 2 = 2 + 2 ; λ 3 = 2 - 2

Passo 3

Beleza? Agora repare que ele não pede a equação da quádrica em relação aos eixos rotacionados x ' , y ' , z ' . Pelo contrário, ele pede só pra classificar, e ainda dá três alternativas:

elipsóide, hiperboloide de uma folha ou hiperboloide de duas folhas.

A equação da quádrica em relação aos eixos rotacionados é:

x ' y ' z ' λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 x ' y ' z ' + G H I u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 x ' y ' z ' = J

Repare que o sinal dos termos que vão aparecer ao quadrado é dado por λ 1 ; λ 2 ; λ 3 . Vai ficar:

λ 1 x ' 2 + λ 2 y ' 2 + λ 3 z ' 2 + G H I u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 x ' y ' z ' = J

Passo 4

Então, vamos lembrar o que difere um elipsoide dos hiperboloides? Isso mesmo, o sinal dos termos ao quadrado. No elipsoide, eles são todos iguais. Como λ 1 > 0 ; λ 2 > 0 ; λ 3 > 0 , a quádrica só pode ser um elipsoide.

Resposta

  1. A quádrica é um elipsoide.

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