Exercícios Resolvidos de Fórmula da Flexão

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 360-5.85.

Determine o maior valor admissível da carga distribuída w para a viga mostrada, sabendo que a tensão normal admissível é de + 80   M P a em tração e de - 130   M P a em compressão.

Passo 1

O que nós sabemos?

Sabemos que o carregamento na viga A B C D vai gerar nela esforços internos na forma de forças cortantes V e momentos fletores M F l .

Esses momentos fletores M F l vão gerar na viga tensões normais de flexão σ , de acordo com a fórmula da flexão:

σ = - M F l y I z z

Onde:

  • M F l (ou só “ M ”) é o momento fletor em uma seção transversal da viga;
  • y é a posição do ponto da seção em que se quer calcular a tensão σ em relação à linha neutra da seção;
  • & I z z (ou só “ I ”) é o momento de inércia da área da seção.

Lembrando que nessa equação, dependendo dos sinais de M F l e de y , a tensão σ pode assumir valores positivos (de tração) ou negativos (de compressão).

Beleza...

E o que é que está acontecendo no exercício?

Nesse exercício, vamos ter certas seções da viga onde o momento fletor M F l vai ter os seus “valores críticos”: os seus maiores valores positivo e negativo.

Nessas seções, que vamos chamar de “seções críticas”, há a chance de que a tensão normal σ atinja, ou no topo ou na base da seção, o seu valor máximo em tração ( + ):

σ m á x , t r a ç ã o

...e/ou o seu valor máximo em compressão ( - ):

σ m á x , c o m p .

...sendo que, para a viga do exercício, essas tensões tem que ser monitoradas para garantir que elas não ultrapassem os seus valores máximos admissíveis de + 80   M P a e - 130   M P a .

Ou seja, essas tensões tem que satisfazer as condições:

σ m á x , t r a ç ã o ≤ 80   M P a

&

σ m á x , c o m p ≥ - 130   M P a

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine o valor máximo da carga distribuída w de tal forma que as condições acima ainda sejam respeitadas.

Então, para resolver esse exercício, vamos ter que:

1. Encontrar os momentos fletores M F l críticos na viga em função de w .

Para tanto, podemos aplicar os métodos da estática: DCL, equilíbrio, análise dos esforços internos & diagramas de esforços internos.

2. Analisar a geometria em “T” da seção transversal da viga para encontrar a posição y - de sua linha neutra e o seu momento de inércia da área I z z .

3. Definir os “valores críticos” de y para a viga e aplicar a fórmula da flexão σ = - M F l y / I z z usando esses valores e os momentos fletores M F l críticos encontrados anteriormente.

Assim, vamos encontrar as tensões σ máximas de tração ( + ) e compressão ( - ) na viga em função da carga distribuída desconhecida w .

E, finalmente, 4. Aplicar as condições σ m á x , t r a ç ã o ≤ 80   M P a e σ m á x , c o m p ≥ - 130   M P a .

Assim, vamos descobrir os valores máximos permitidos para w de acordo com essas condições, resolvendo então o exercício.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar encontrando os momentos fletores M F l críticos na viga através dos métodos da estática!

Começando pelo primeiro passo dos métodos da estática, temos o DCL ou:

Para essa viga:

  • O apoio móvel em B vai realizar uma reação na vertical V B ;
  • E o apoio fixo em C vai realizar uma reação na horizontal H C (que vai acabar sendo nula e pode ser omitida do DCL) e uma reação na vertical V C .

Então o DCL dessa viga deve ficar assim:

Passo 3

Feito o DCL, seguimos para o:

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, vamos ter:

∑ F V = 0

Na hora de fazer esse somatório, consideramos a força distribuída uniforme w que atua ao longo do comprimento total de 0,9   m da viga como uma força equivalente w * ( 0,9   m ) .

Dessa forma, o somatório fica assim:

V B + V C - w * 0,9   m = 0

O que significa que:

V B + V C = 0,9 w

Em seguida, podemos aplicar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto médio “ E ” da viga, onde a força equivalente à força distribuída uniforme w atua:

Dessa forma, vamos ter:

∑ M E = 0

V C 0,25   m - V B 0,25   m = 0

O que significa que:

V B = V C

Daí que, substituindo isso na expressão anterior V B + V C = 0,9 w , conseguimos encontrar que:

V B = V C = 0,45 w

Passo 4

Encontrados os valores dos esforços externos atuantes na nossa viga, podemos seguir agora para a:

Na nossa viga, temos descontinuidades em A (início da viga e de uma força distribuída), em B e em C (forças concentradas) e em D (final da viga e de uma força distribuída).

Então precisamos avaliar as seções entre A e B , entre B e C e entre C e D :

Em cada caso, só queremos saber o valor do momento fletor M F l , então podemos aplicar somente o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção.

Além disso, em cada caso, podemos considerar a força distribuída w como uma força equivalente que atua bem no meio da seção da viga em que se está aplicando o equilíbrio.

Para as seções entre A e B , vamos ter:

∑ M = 0

w x x 2 + M F l = 0

Lembrando que aqui, w x corresponde à força equivalente à carga distribuída w enquanto ( x / 2 ) corresponde ao seu braço.

Aí, isolando M F l , encontramos que:

M F l = - w 2 x 2

Em seguida, para as seções entre B e C , temos:

∑ M = 0

w x x 2 + M F l - V B x - 0,2 = 0

Isolando M F l e fazendo a distributiva em “ V B x - 0,2 ”, temos:

M F l = - w 2 x 2 + V B x - V B ( 0,2 )

E finalmente, substituindo V B = 0,45 w , encontramos que:

M F l = - w 2 x 2 + 0,45 w x - 0,09 w

Por fim, para as seções entre C e D , temos:

∑ M = 0

- w 0,9 - x 0,9 - x 2 - M F l = 0

Lembrando que nesse caso, w ( 0,9 - x ) corresponde à força equivalente à carga distribuída w enquanto que ( 0,9 - x / 2 ) é o seu bra��o.

Aí, isolando M F l , encontramos que:

M F l = - w 0,9 - x 2 2

E, desenvolvendo essa expressão, encontramos:

M F l = - w 0,81 - 1,8 x + x 2 2

O que significa que:

M F l = - w 2 x 2 + 0,9 w x - 0,405 w

Passo 5

Por fim, podemos seguir para o último passo dos métodos da estática, que são os:

Sendo que aqui, importa para a gente fazer o diagrama do momento fletor M F l .

Então vamos pensar...

Como vimos no passo anterior, o momento fletor M F l é descrito por três equações, dependendo do trecho da viga que estamos analisando.

Primeiro, para o trecho 0 < x < 0,2   m , nós temos a função quadrática:

M F l ( x ) = - w 2 x 2

O que significa que o momento fletor varia parabolicamente, com uma concavidade para baixo (uma vez que a segunda derivada dessa função acima é negativa), entre os pontos:

M F l 0 = 0

&

M F l 0,2   m = - w 2 0,2 2 = - 0,02 w

Além disso...

Fazendo a primeira derivada dessa função e igualando-a a zero, encontramos que o ponto crítico dessa função é x = 0 , onde M F l 0 = 0 , que vai ser o ponto de máximo da função, uma vez que ela tem uma concavidade para baixo.

Em seguida, para o trecho 0,2   m < x < 0,7   m , temos outra função quadrática:

M F l = - w 2 x 2 + 0,45 w x - 0,09 w

O que significa que o momento varia parabolicamente, com uma concavidade para baixo (pelo mesmo motivo da função anterior), entre os pontos:

M F l 0,2   m = - 0,02 w

&

M F l 0,7   m = - w 2 ( 0,7 ) 2 + 0,45 w 0,7 - 0,09 w = - 0,02 w

Além disso...

Fazendo a primeira derivada dessa função e igualando-a a zero, encontramos o ponto de máximo x = 0,45   m , onde o momento fletor vai valer:

M F l 0,45   m = - w 2 ( 0,45 ) 2 + 0,45 w 0,45 - 0,09 w = 0,01125 w

Por fim, para o trecho 0,7   m < x < 0,9   m , temos uma terceira função quadrática:

M F l = - w 2 x 2 + 0,9 w x - 0,405 w

O que significa que o momento varia parabolicamente, com uma concavidade para baixo (pelo mesmo motivo das funções anteriores), entre os pontos:

M F l 0,7   m = - 0,02 w

&

M F l 0,9   m = - w 2 ( 0,9 ) 2 + 0,9 w 0,9 - 0,405 w = 0

Além disso...

Fazendo a primeira derivada dessa função e igualando-a a zero, encontramos o ponto de máximo x = 0,9   m , o acabamos de calcular que o momento fletor é igual à zero.

Assim...

Juntando tudo que acabamos de ver...

Conseguimos desenhar o diagrama de momento fletor abaixo para essa viga:

E tcharam! 😎

Desse diagrama de momento fletor, conseguimos retirar que os valores críticos (os valores máximos positivo e negativo) do momento fletor M F l nessa viga são:

M F l m á x , + = 0,01125 w

&

M F l m á x , - = - 0,02 w

E assim terminamos toda a parte dos métodos da estática.

Passo 6

Agora, podemos seguir para o estudo das propriedades geométricas da seção transversal dessa viga, começando pela determinação da:

Para calcular essa posição, devemos observar a geometria da seção da viga:

Em seguida, separamos essa geometria em elementos numerados e definimos a base da viga como o ponto 0 :

Calculamos as áreas A i de cada elemento e as posições y - i dos centros de cada um e colocamos esses resultados em uma tabela:

Sendo que, nessa tabela, também colocamos na coluna final os produtos entre esses valores para cada elemento e na linha final os somatórios das áreas ∑ A i e dos produtos ∑ A i y - i .

Com isso, podemos finalmente calcular a posição y - da linha neutra usando a fórmula:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

Substituindo ∑ A i y - i = 120 * 10 3   m m 3 e ∑ A i = 2400   m m 2 , encontramos que:

y - = 120 * 10 3   m m 3 2400   m m 2 = 50   m m

Que é a posição da nossa linha neutra!

Passo 7

Depois da posição da linha neutra, podemos calcular para a seção da nossa viga o:

Aqui, devemos começar calculando o momento de inércia da área I i de cada elemento.

No nosso caso, tanto o elemento 1 quanto o elemento 2 que compõem essa viga são retangulares.

Dessa forma, os dois vão ter momentos de inércia da área dados pela fórmula I i = b h 3 / 12 .

Assim, para o elemento 1 , que está “deitado” com uma base b = 60   m m e uma altura h = 20   m m , vamos ter que:

I 1 = 60 20 3 12 = 40000   m m 4

Já para o elemento 2 , que está “em pé” com uma base b = 20   m m e uma altura h = 60   m m , vamos ter que:

I 2 = 20 60 3 12 = 360000   m m 4

Em seguida, temos que determinar as distâncias d i entre o centro de cada elemento e a linha neutra:

Da tabela do passo 6, vemos que o centro y - 1 do elemento 1 está a uma altura de 70   m m , então:

d 1 = 70 - 50 = 20   m m

Já o centro do elemento 2 está a uma altura de 30   m m , então a sua distância d 2 vai dar:

d 2 = 50 - 30 = 20   m m

Com isso, podemos agora aplicar a fórmula abaixo, baseada no teorema dos eixos paralelos, para determinar o momento de inércia da área I z z da seção transversal como um todo:

I z z = ∑ I i + A i d i 2

Realizando esse somatório, temos:

I z z = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2

Substituindo os valores:

  • I 1 = 40000   m m 4 e d 1 = 20   m m ;
  • I 2 = 360000   m m 4 e d 2 = 20   m m ;
  • & A 1 = A 2 = 1200   m m 2 ,

E calculando tudo, vamos encontrar que:

I z z = 1360 * 10 3   m m 4

Passo 8

Agora, podemos definir os “valores críticos” (máximos positivo e negativo) de y para essa viga.

Assim, vamos poder aplicar a fórmula da flexão σ = - M F l y / I z z usando esses valores e os valores críticos de M F l encontrados lá no passo 5 .

E, com isso, vamos encontrar as tensões σ máximas de tração ( + ) e compressão ( - ) na viga em função da carga distribuída desconhecida w .

Então vamos lá!

Em qualquer viga, os valores máximos positivo e negativo de y vão acontecer para o topo e para a base da viga.

Para a nossa viga:

  • Já definimos a sua base como o ponto 0 ;
  • Já encontramos a posição da sua linha neutra;
  • E, somando 60   m m com 20   m m , vemos que o seu topo vai ter uma altura de 80   m m ,

...como mostra a figura abaixo:

Isso significa que o valor máximo positivo da posição y de um ponto dessa seção em relação à sua linha neutra vai ser:

y m á x , + = y t o p o = 80 - 50 = 30   m m

E que o valor máximo negativo da posição y de um ponto dessa seção em relação à sua linha neutra vai ser:

y m á x , - = y b a s e = 0 - 50 = - 50   m m

Passo 9

Com esses valores, podemos calcular as tensões de tração e compressão máximas para os pontos críticos B e C (onde M F l = M F l m á x , - = - 0,02 w ) e E (onde M F l = M F l m á x , + = 0,01125 w ).

Para os pontos B e C , temos:

σ t o p o , B   e   C = - M F l y t o p o I z z

&

σ b a s e , B   e   C = - M F l y b a s e I z z

Substituindo:

  • M F l = - 0,02   m 2 w = - 20000   m m 2 w para os pontos B e C ;
  • y t o p o = 30   m m e y b a s e = - 50   m m ;
  • I z z = 1360 * 10 3   m m 4 ,
  • Encontramos que:

    σ t o p o , B   e   C = 0,4412   m m - 1 w

    &

    σ b a s e , B   e   C = - 0,7353   m m - 1 w

    Já para o ponto E , temos:

    σ t o p o , E = - M F l y t o p o I z z

    &

    σ b a s e , E = - M F l y b a s e I z z

    Substituindo, para o ponto E :

  • M F l = 0,01125   m 2 w = 11250   m m 2 w ;
  • y t o p o = 30   m m e y b a s e = - 50   m m ;
  • I z z = 1360 * 10 3   m m 4