Exercícios Resolvidos de Fórmula da Flexão

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 211-6.56. (Adaptado)

A viga é composta por três tábuas de madeira pregadas como mostra a figura. Se o momento que age na seção transversal for M = 1,5   k N * m , determine a tensão de flexão máxima na viga. Faça um rascunho da distribuição de tensão que age na seção transversal.

Dica do Expert: Determine a posição da linha neutra da viga, depois calcule o momento de inércia da área I da viga, e, por último, aplique a fórmula da flexão.

Passo 1

O que está acontecendo?

O momento M = 150   k N * m aplicado vai gerar na seção transversal da viga uma tensão normal de flexão σ que é descrita pela fórmula da flexão:

σ = - M y I

Onde:

  • M (ou M F l ) é o momento fletor aplicado na seção transversal;
  • y é a posição ponto onde se quer calcular a tensão de flexão σ em relação à linha neutra (ou eixo neutro) da viga;
  • & I (ou I z z ) é o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação à sua linha neutra.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine a tensão de flexão σ = - M y / I máxima nessa viga.

Então...

Para resolver o exercício, nós vamos ter que:

1. Determinar a posição y - da linha neutra.

Para fazer isso, podemos fazer uma média das posições y - i dos centros de cada tábua de madeira ponderadas de acordo com as áreas A i de cada tábua:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

Sendo que uma das formas de identificar os termos A i e y - i dessa equação consiste em numerar cada tábua da viga e preencher uma tabela como a da figura abaixo:

Feito isso, podemos seguir para os próximos passos, que são:

2. Calcular o momento de inércia da área I para essa viga.

Para fazer isso, vamos ter que nos lembrar:

  • Que o momento de inércia da área I i de cada tábua retangular é I i = ( b h 3 / 12 ) , onde b é a base da tábua (paralela à linha neutra) e h é a sua altura (perpendicular à linha neutra);
  • E que, devido ao teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia da área I da viga vai ser:

I = ∑ I i + A i d i 2

Onde d i é a distância do centro y - i de cada tábua até a linha neutra y - .

& 3. Indicar o valor máximo absoluto de y e calcular a tensão de flexão σ = - M y / I máxima absoluta, resolvendo assim o exercício.

Sendo que o valor máximo de y vai ocorrer sempre ou para o topo ou para a base da viga.

Ao final de tudo, o exercício ainda quer que a gente faça um rascunho da distribuição de tensão que ocorre na seção transversal da viga.

Então sim... Eu sei... Parece muita coisa.

Mas segura aí que você consegue! 👊

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar determinando a posição y - da linha neutra.

Para tanto, temos que olhar para a figura original do exercício:

Numerar as 3 tábuas da viga e identificar a base da viga como a posição 0 :

E preencher, em uma tabela, o valor das áreas A i e das posições dos centros y - i de cada tábua, além do produto desses valores para cada tábua:

Por último, fazemos o somatório das áreas ∑ A i e dos produtos ∑ A i y - i e colocamos esses resultados na última linha da tabela:

Com isso, podemos finalmente calcular a posição y - da linha neutra:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i = 4909,8 * 10 3   m m 3 22700   m m 2 = 216,3   m m

E com isso, 1 / 4 do exercício já está resolvido.

Nada mal, hein?

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia da área I para essa viga.

Sabemos que o momento de inércia da área de cada retângulo ou tábua que compõe a viga vai ser dado por:

I i = b h 3 12

Então vamos pensar...

Para a tábua 1, nós temos uma base b de 250   m m e uma altura h de 38   m m , então:

I 1 = 250 38 3 12 = 1143167   m m 4

Para a tábua 2, b = 25   m m e h = 300   m m , então:

I 2 = 25 300 3 12 = 56250000   m m 4

E para a tábua 3, b = 150   m m e h = 38   m m , logo:

I 3 = 150 38 3 12 = 685900   m m 4

Em seguida, temos que cada tábua tem uma distância d i entre o seu centro e a linha neutra da viga:

Para a tábua 1, que tem um centro com uma altura de 357   m m , essa distância vai dar:

d 1 = 357 - 216,3 = 140,7   m m

Já para a tábua 2, com seu centro com uma altura de 188   m m , temos que:

d 2 = 216,3 - 188 = 28,3   m m

E para a tábua 3, com um centro de altura de 19   m m , temos:

d 3 = 216,3 - 19 = 197,3   m m

Com isso, já definimos:

  • Todos os momentos de inércia da área I i de cada tábua;
  • Todas as distâncias d i de cada tábua;
  • E todas as áreas A i de cada tábua, dispostas na tabela do passo anterior.

Então agora, só nos falta aplicar a fórmula:

I = ∑ I i + A i d i 2

E realizar esse somatório para encontrarmos o valor final de I para essa viga:

I = 1143167 + 9500 * 140,7 2 + 56250000 + 7500 * 28,3 2 + 685900 + 5700 * 197,3 2

Calculando tudo isso, encontramos que:

I = 474,04 * 10 6   m m 4

E assim, metade do exercício está resolvido!

Segura aí que tá acabando!

Passo 4

Por fim, podemos ver que, em termos absolutos, a posição y em relação à linha neutra é maior para os pontos na base da nossa viga:

y b a s e = 0 - 216,3 = - 216,3   m m

Do que para os pontos no topo da viga:

y t o p o = 38 + 300 + 38 - 216,3 = 159,7   m m

Ou seja, o valor máximo de y (em termos absolutos) é:

y m á x = - 216,3   m m

E a tensão de flexão máxima na viga (em termos absolutos) é:

σ m á x = - M y m á x I

Daí que, substituindo:

  • M = 1,5   k N * m = 1,5 * 10 6   N * m m ;
  • y m á x = - 216,3   m m ;
  • & I = 474,04 * 10 6   m m 4 ,

Temos que:

σ m á x = - 1,5 * 10 6   N * m m - 216,3   m m 474,04 * 10 6   m m 4  

Simplificando tudo, isso fica assim:

σ m á x = 1,5 216,3 474,04   N / m m 2

Finalmente, calculando tudo e sabendo que N / m m 2 é o mesmo que M P a , encontramos que:

σ m á x = 0,684   M P a

E olha só! Já temos a resposta do exercício!

Agora só falta o rascunho da distribuição de tensões na seção transversal.

Passo 5

Sobre essa distribuição de tensões σ na seção transversal da nossa viga, podemos dizer:

  • Que ela varia linearmente com a variação da posição y do ponto sendo estudado, como mostra a fórmula da flexão σ = - M y / I ;
  • Que a posição y da linha neutra em relação à ela mesmo é zero, e, portanto, σ = - M y / I = 0 na linha neutra;
  • E que na base da viga, σ = σ m á x = 0,684   M P a .

Se conseguirmos calcular também a tensão nos pontos do topo da viga, vamos ter informações suficientes para fazer o rascunho da distribuição de tensões.

Então vamos calcular a tensão nos pontos do topo da viga:

σ t o p o = - M y t o p o I

Substituindo:

  • M = 1,5   k N * m = 1,5 * 10 6   N * m m ;
  • y t o p o = 159,7   m m ;
  • & I = 474,04 * 10 6   m m 4 ,

Encontramos que:

σ t o p o = - 0,505   N / m m 2 = - 0,505   M P a

Com isso, considerando um eixo y começando na base da viga, podemos marcar os pontos:

  • σ = 0,684   M P a para a base da viga, onde y = 0 ;
  • σ = 0 para a linha neutra, onde y = y - = 216,3   m m ;
  • & σ = - 0,505   M P a para o topo da viga, onde y = 38 + 300 + 38 = 376   m m ;

Conectando esses pontos por uma reta, conseguimos fazer o rascunho da distribuição de tensões abaixo:

E pronto!

Terminamos o exercício.

Resposta

σ m á x = 0,684   M P a

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas