Exercícios Resolvidos de Fórmula da Flexão

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 212-6.73.

Determine o menor diâmetro admissível do eixo que está sujeita às forças concentradas. Os mancais de luva em A e B suportam somente forças verticais, e a tensão de flexão admissível é σ a d m = 160   M P a .

Passo 1

O que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é o menor diâmetro d que o eixo circular pode ter de tal forma que a tensão de flexão σ no eixo não ultrapasse em módulo o seu valor admissível σ a d m = 160   M P a .

Ou seja, ele quer saber qual é o menor diâmetro que respeita a condição:

σ m á x ≤ σ a d m

Então para resolver essa questão, precisamos saber descrever σ m á x em função do diâmetro d do eixo.

E como podemos fazer isso?

Bom, para descrever σ m á x , precisamos avaliar os valores de σ de acordo com a fórmula da flexão:

σ = - M F l y I z z

Onde:

  • M F l (ou alternativamente, só “ M ”) é o momento fletor em uma seção do eixo;
  • y é a posição de um ponto da seção do eixo em relação à sua linha neutra;
  • & I z z (ou alternativamente, só “ I ”) é o momento de inércia da área da seção transversal desse eixo.

Mas olha só...

Primeiro, o momento fletor M F l máximo absoluto “ M F l m á x ” nesse eixo pode ser encontrado a partir dos métodos da estática (DCL, equilíbrio, análise dos esforços internos & diagramas de esforços internos).

Segundo, a linha neutra de um eixo circular fica bem no meio do eixo, e, então, o valor máximo absoluto de y vai corresponder ao raio r = d / 2 do eixo:

E terceiro, o momento de inércia da área de uma seção transversal circular é:

I = I z z = π r 4 4

Que ainda pode ser expressa em função do diâmetro d do eixo como:

I = I z z = π d 2 4 4 = π d 4 64

Então σ m á x pode ser definido como:

σ m á x = M F l m á x   r I = M F l m á x   d 2 π d 4 64

O que simplificando, fica assim:

σ m á x = 32   M F l m á x π d 3

Então resumindo tudo...

Para resolver esse exercício, precisamos aplicar os métodos da estática para determinar o momento fletor máximo absoluto M F l m á x nesse eixo.

Feito isso, vamos conseguir descrever a tensão máxima absoluta no eixo σ m á x   em função do diâmetro d .

E, em seguida, vamos poder usar isso e a condição de projeto σ m á x ≤ σ a d m para descobrirmos os diâmetro d necessário para o nosso eixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos lá!

Começando pelo primeiro passo dos métodos da estática, nós temos o DCL ou:

O exercício já falou que os apoios em A e B só realizam reações na vertical, então nosso DCL fica assim:

Passo 3

Próximo passo é o:

Aplicando no nosso eixo C A B D o equilíbrio de forças na vertical, nós vamos ter que:

∑ F V = 0

V A + V B - 600   N - 400   N = 0

O que significa que:

V A + V B = 1000   N

Por outro lado, aplicando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto B , temos:

∑ M B = 0

600   N 2   m - V A 1,2   m - 400   N 0,6   m = 0

Isolando V A ( 1,2   m ) e calculando o restante, temos que:

V A 1,2   m = 960   N * m

O que significa que:

V A = 800   N

Por fim, substituindo esse valor na expressão anterior V A + V B = 1000   N , encontramos que:

V B = 200   N

E assim finalizamos toda a análise dos esforços externos no nosso eixo!

Passo 4

Com isso, podemos seguir para o terceiro passo dos métodos da estática, que é a:

Existem descontinuidades (nesse caso, forças concentradas) nos pontos C , A , B e D da nossa viga.

Então devemos observar os esforços internos nas seções entre C e A , entre A e B e entre B e D :

Aí, como nesse exercício queremos analisar o momento fletor M F l máximo absoluto no eixo, vamos focar em determinar os momentos fletores no eixo, pulando o cálculo das forças cortantes V .

Para as seções as seções entre C e A ( 0 < x < 0,8   m ) , o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção nos diz que:

∑ M = 0

600 x + M F l = 0

O que significa que:

M F l = - 600 x

Em seguida, para as seções entre A e B ( 0,8   m < x < 2   m ) , temos:

∑ M = 0

600 x - V A x - 0,8 + M F l = 0

Substituindo V A e isolando M F l , temos:

M F l = 800 x - 0,8 - 600 x

Fazendo a distributiva, isso fica assim:

M F l = 800 x - 640 - 600 x

O que significa que:

M F l = 200 x - 640

Por fim, para as seções entre B e D ( 2   m < x < 2,6   m ) , temos:

∑ M = 0

- M F l - 400 2,6 - x = 0

Isolando M F l , temos:

M F l = - 400 ( 2,6 - x )

E fazendo a distributiva, encontramos que:

M F l = 400 x - 1040

Passo 5

Finalmente, chegamos no último passo dos métodos da estática, que são os:

Aqui, só precisamos fazer um diagrama para o momento fletor M F l da viga, que é descrito por 3 equações de primeiro grau de x :

M F l x = - 600 x ,   p a r a   0 < x < 0,8   m 200 x - 640 ,   p a r a   0,8   m < x < 2   m e 400 x - 1040 ,   p a r a   2   m < x < 2,6   m

Pela primeira equação, o momento fletor varia linearmente de M F l 0 = 0 para M F l 0,8 = - 480   N * m .

Pela segunda, ele varia linearmente de M F l 0,8 = - 480   N * m para M F l 2 = - 240   N * m .

E pela terceira, ele varia linearmente de M F l 2 = - 240   N * m para M F l 2,6 = 0 .

Dessa forma, o diagrama do momento fletor M F l fica assim:

E tcharam!

Desse diagrama conseguimos identifica que o momento fletor máximo absoluto no nosso eixo é:

M F l m á x = 480   N * m

Passo 6

Agora, podemos seguir o exercício aplicando a nossa condição:

σ m á x ≤ σ a d m

Aplicando a fórmula da flexão para a determinação da tensão máxima absoluta no eixo, temos que:

σ m á x = M F l m á x   r I

De tal forma que a nossa condição pode ser reescrita assim:

M F l m á x   r I ≤ σ a d m

Em seguida, substituindo:

  • r = d / 2 ;
  • & I = π d 4 / 64 ,

...e simplificando tudo, a nossa condição fica assim:

32   M F l m á x π d 3 ≤ σ a d m

E isolando d , temos:

d ≥ 32   M F l m á x π σ a d m 3

Aí, substituindo os valores:

  • M F l m á x = 480   N * m = 480000   N * m m ,
  • & σ a d m = 160   M P a = 160   N / m m 2 ,

...e não se esquecendo de fazer a raíz cúbica, encontramos que:

d ≥ 31,3   m m

O que significa que o diâmetro mínimo necessário para o eixo é:

Resposta

d = 31,3   m m

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