Exercícios Resolvidos de Fórmula da Flexão

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 245-4.9.

Duas forças verticais são aplicadas à viga com seção transversal mostrada na figura. Determine as tensões de tração e de compressão máximas na parte B C da viga.

Passo 1

O que está acontecendo?

Existe no trecho B C da viga A B C D um momento fletor M F l (ou só “ M ”) que pode ser encontrado através dos métodos da estática: diagrama de corpo livre, equilíbrio e análise dos esforços internos.

Além disso...

A seção transversal dessa viga tem uma linha neutra de posição y - e um momento de inércia da área I z z (ou só “ I ”) que podem ser determinados a partir da geometria da seção mostrada.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine as tensões σ de tração e de compressão máximas devido à flexão no trecho B C da viga.

Essas tensões podem ser encontradas usando a fórmula da flexão:

σ = - M F l y I z z

...onde y é a posição do ponto da seção que está sendo avaliado em relação à linha neutra.

Dessa forma, os valores máximos positivo e negativo de y (e consequentemente os valores máximos de σ ) ocorrem para a base e para o topo da seção:

Então para resolver o exercício, devemos:

  • Usar os métodos da estática para descobrir o valor de M F l no trecho B C da viga;
  • Encontrar os valores de y - e I z z para a seção transversal da viga;
  • E, finalmente, definir y t o p o e y b a s e e calcular as tensões σ de tração e de compressão máximas usando a fórmula da flexão.
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Passo 2

Então vamos começar com o primeiro passo dos métodos da estática, que é o DCL ou:

Para essa viga:

  • O apoio móvel em D vai realizar uma reação na vertical V D ;
  • E o apoio fixo em A vai realizar uma reação na horizontal H A (que vai acabar sendo nula e pode ser omitida do DCL) e uma reação na vertical V A .

Dessa forma, o nosso DCL fica assim:

Passo 3

Agora, seguimos para o:

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, temos:

∑ F V = 0

V A + V D - 10   k N - 10   k N = 0

O que significa que:

V A + V D = 20   k N

Em seguida, aplicando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto D , temos:

∑ M D = 0

- V A 550 + 10 400 + 10 150 = 0

Isolando V A ( 550 ) , encontramos que:

V A ( 550 ) = ( 10 ) ( 400 + 150 )

O que significa que:

V A = 10   k N

E, substituindo esse valor na expressão anterior V A + V D = 20   k N , encontramos que:

V D = 10   k N

Passo 4

Por fim, fazemos a:

Como nesse exercício, só queremos saber o momento fletor no trecho B C da viga, só precisamos analisar os esforços internos nas seções desse trecho:

Aí, para encontrar o valor do momento fletor M F l nesse trecho, podemos aplicar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção:

∑ M = 0

M F l - V A x + 10 x - 150 = 0

Isolando M F l , temos:

M F l = V A x - ( 10 ) ( x - 150 )

Substituindo V A = 10   k N e fazendo a distributiva, isso fica assim:

M F l = 10 x - 10 x + 1500

Finalmente, cortando 10 x com 10 x , encontramos que:

M F l = 1500   k N * m m

Passo 5

Agora, seguimos para a próxima parte do exercício, em que calculamos as propriedades geométricas da seção dessa viga, começando pela:

Para calcular essa posição, devemos observar a geometria da seção da viga:

Em seguida, separamos essa geometria em elementos numerados e definimos a base da viga como o ponto 0 :

Calculamos as áreas A i de cada elemento e as posições y - i dos centros de cada um e colocamos esses resultados em uma tabela:

Sendo que, nessa tabela, também colocamos na coluna final os produtos entre esses valores para cada elemento e na linha final os somatórios das áreas ∑ A i e dos produtos ∑ A i y - i .

Com isso, podemos finalmente calcular a posição y - da linha neutra usando a fórmula:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

Substituindo ∑ A i y - i = 37,5 * 10 3   m m 3 e ∑ A i = 1500   m m 2 , encontramos que:

y - = 37,5 * 10 3   m m 3 1500   m m 2 = 25   m m

Que é a posição da nossa linha neutra.

Passo 6

Depois da posição da linha neutra, podemos calcular para a seção da nossa viga o:

Começamos calculando o momento de inércia da área I i de cada elemento.

Todos os elementos que compõem a seção da nossa viga são retangulares.

Dessa forma, todos eles vão ter momentos de inércia da área I i = b h 3 / 12 .

Para os elementos 1 e 2 , que está “em pé” com uma base b = 10   m m e uma altura h = 50   m m , vamos ter que:

I 1 = I 2 = 10 50 3 12 = 104167   m m 4

Já para o elemento 3 , que está “deitado” com uma base b = 50   m m e uma altura h = 10   m m , temos:

I 3 = 50 10 3 12 = 4167   m m 4

Em seguida, temos que determinar as distâncias d i entre o centro de cada elemento e a linha neutra:

O centro dos elementos 1 e 2 estão a uma altura de 35   m m , então:

d 1 = d 2 = 35 - 25 = 10   m m

Já o centro do elemento 3 está a uma altura de 5   m m , então a sua distância d 3 vai dar:

d 3 = 25 - 5 = 20   m m

Com isso, podemos agora aplicar a fórmula abaixo, baseada no teorema dos eixos paralelos, para determinar o momento de inércia da área I z z da seção transversal como um todo:

I z z = ∑ I i + A i d i 2

Realizando esse somatório, temos:

I z z = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + ( I 3 + A 3 d 3 2 )

Substituindo os valores:

  • I 1 = I 2 = 104167   m m 4 e d 1 = d 2 = 10   m m ;
  • I 3 = 4167   m m 4 e d 3 = 20   m m ;
  • & A 1 = A 2 = A 3 = 500   m m 2 ,

E calculando tudo, vamos encontrar que:

I z z = 512501   m m 4

Passo 7

Depois de tudo que passamos, chegamos ao passo final, que é definir y t o p o e y b a s e e calcular as tensões σ de tração e de compressão máximas no trecho B C da viga usando a fórmula da flexão.

Se lembrarmos do que vimos lá no passo 1:

Vamos poder definir agora os valores de y b a s e e y t o p o aproveitando o valor da posição da linha neutra y - = 25   m m que encontramos no passo 5:

y b a s e = 0 - 25 = - 25   m m

&

y t o p o = 60 - 25 = 35   m m

Definidos esses valores, sabemos que:

Por um lado, o valor máximo negativo de y , y = y b a s e = - 25   m m vai corresponder à tensão de flexão σ = - M F l y / I z z máxima de tração ( + ) no trecho B C da viga:

σ m á x , t r a ç ã o = - M F l y b a s e I z z

Substituindo:

  • Do passo 4 , M F l = 1500   k N * m m = 1500 * 10 3   N * m m ;
  • Do passo 6 , I z z = 512501   m m 4 ;
  • E do passo atual, y b a s e = - 25   m m ,
  • Vamos encontrar que:

    σ m á x , t r a ç ã o = 73,2   N / m m 2

    E, como N / m m 2 é o mesmo que M P a , isso significa que:

    σ m á x , t r a ç ã o = 73,2   M P a

    Por outro lado, o valor máximo positivo de y , y = y t o p o = 35   m m vai corresponder à tensão de flexão σ = - M F l y / I z z máxima de compressão ( - ) no trecho B C da viga:

    σ m á x , c o m p . = - M F l y t o p o I z z

    Daí que, substituindo:

  • Do passo 4 , M F l = 1500   k N * m m = 1500 * 10 3   N * m m ;
  • Do passo 6 , I z z = 512501   m m 4 ;
  • E do passo atual, y t o p o = 35   m m ,

E calculando tudo, encontramos que:

σ m á x , c o m p . = - 102,4   N / m m 2 = - 102,4   M P a

E assim, terminamos o exercício!

Resposta

σ m á x , t e n s ã o = 73,2   M P a

&

σ m á x , c o m p r e s s ã o = - 102,4   M P a

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