Exercícios Resolvidos de Fórmula da Flexão

Prova 1 - 2017.1 - Prof. Alex - Mecânica dos Materiais 1 - UnB (Adaptada)

A viga da figura abaixo possui um comprimento total L , está submetida a uma carga uniformemente distribuída q e possui uma seção transversal na forma de um tubo quadrado, com lados externos de comprimento a e lados internos de comprimento b .

Determine a tensão de flexão máxima nessa viga e faça um rascunho da distribuição de tensões na seção transversal da viga onde ocorre essa tensão máxima.

Passo 1

O que está acontecendo?

A carga q distribuída uniformemente e as reações realizadas pelos apoios nessa viga vão gerar nela esforços internos na forma de forças cortantes V e momentos fletores M F l .

Em uma ou mais seções transversais dessa viga, o momento fletor M F l vai ter o seu valor máximo absoluto.

Nessas seções de momento máximo, vão ocorrer as tensões de flexão σ máximas na viga, de acordo com a fórmula da flexão:

σ = - M F l y I z z

Onde:

  • M F l (ou só “ M ” para alguns professores) é o momento fletor na seção transversal;
  • y é a posição do ponto da seção transversal em que se quer avaliar a tensão σ em relação à linha neutra da seção;
  • & I z z (ou só “ I ” para alguns professores) é o momento de inércia da área da seção.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine a maior tensão de flexão σ causada nessa viga em função das variáveis L , q , a e e que ele indicou no enunciado.

Então...

Para resolver esse exercício, temos que:

1. Encontrar o momento fletor M F l máximo em termos absolutos nessa viga.

Para tanto, devemos usar os métodos da estática: DCL, equilíbrio, análise dos esforços internos & diagramas de esforços internos.

2. Analisar a geometria da seção transversal dessa viga para encontrar a posição y - de sua linha neutra e o seu momento de inércia da área I z z .

Aqui, como a seção dessa viga é simétrica em relação à horizontal, já podemos afirmar que a sua linha neutra possui uma posição média y - = a / 2 :

Além disso, também vemos que os maiores valores da posição y de um ponto dessa seção transversal em relação à linha neutra são y = a / 2 para o topo da seção e y = - a / 2 para a base.

Dessa forma, só falta calcular para essa seção o momento de inércia da área I z z .

& 3. Aplicar a fórmula da flexão para os valores máximos absolutos de y e M F l , encontrando assim a tensão de flexão σ máxima nessa viga, resolvendo o exercício.

Ao final, o exercício ainda pede que a gente aproveite os resultados obtidos para fazer um rascunho da distribuição de tensões σ na seção transversal da viga onde ocorre essa tensão σ máxima.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar pelo primeiro passo dos métodos da estática, que é o DCL ou:

Para essa viga:

  • O apoio móvel à direita vai realizar uma reação na vertical V B ;
  • E o apoio fixo na extremidade esquerda vai realizar uma reação na horizontal H C (que vai acabar sendo nula e pode ser omitida do DCL) e uma reação na vertical V C .

Dessa forma, o nosso DCL fica assim:

Passo 3

Feito o DCL, seguimos para o:

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, temos:

∑ F V = 0

Na hora de fazer esse somatório, consideramos a força uniformemente distribuída q que atua ao longo do comprimento total L da viga como uma força equivalente q L .

Dessa forma, o somatório fica assim:

V A + V B - q L = 0

O que significa que:

V A + V B = q L

Em seguida, podemos aplicar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A da viga:

∑ M A = 0

Aqui, como a força distribuída q é uniforme, nós temos que a sua força equivalente q L atua bem no meio da viga.

Dessa forma, a força equivalente q L vai ter um braço ( L / 2 ) em relação ao ponto A .

Sabendo disso, podemos fazer o somatório de momentos acima, que fica assim:

V B 2 3 L - q L L 2 = 0

Isolando V B 2 / 3 L , temos que:

V B 2 3 L = q L 2 2

Cortando L com L e depois isolando V B , encontramos que:

V B = 3 q L 4

Por fim, podemos substituir esse valor na expressão anterior V A + V B = q L e isolar V A para encontrar que:

V A = q L 4

Passo 4

Agora, já conhecemos os valores dos esforços externos atuantes na nossa viga.

Então podemos seguir agora para a:

Nessa viga, temos descontinuidades em A , B e C , então precisamos avaliar as seções entre A e B e as seções entre B e C :

Aí, para finalizar a análise dos esforços internos, devemos aplicar as equações de equilíbrio em cada situação para descobrirmos os valores dos esforços internos V e M F l nas diferentes seções da viga.

Mas no caso desse exercício...

Ele só quer descobrir as tensões de flexão máximas, que são causadas pelo momento fletor M F l .

Então só precisamos aplicar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção em cada situação para descobrirmos os valores de M F l .

Para as seções entre A e B , vamos ter:

∑ M = 0

Olhando para o desenho acima do pedaço de viga para as seções entre A e B , vemos que a força uniformemente distribuída q atua ao longo do comprimento x desse pedaço de viga.

Assim, concluímos que ela vai atuar como uma força equivalente q x com um braço ( x / 2 ) em relação ao ponto da seção.

Percebendo como nesse caso, somente o momento gerado pela força V A vai estar no sentido horário ( - ), o nosso somatório de momentos fica assim:

q x x 2 + M F l - V A x = 0

Substituindo V A = q L / 4 , temos:

q x 2 2 + M F l - q L 4 x = 0

Em seguida, isolando M F l , encontramos que:

M F l = - q 2 x 2 + q L 4 x

Já para as seções entre B e C , temos:

∑ M = 0

Dessa vez, a força distribuída q vai atuar como uma força equivalente q ( L - x ) com um braço ( L - x ) / 2 em relação ao ponto da seção.

Percebendo como, nesse caso, tanto o momento fletor quando o momento gerado por q estão no sentido horário ( - ), o nosso somatório de momentos fica assim:

- q L - x L - x 2 - M F l = 0

Isolando M F l , encontramos que:

M F l = - q L - x 2 2

Desenvolvendo o termo L - x 2 , temos:

M F l = - q L 2 - 2 L x + x 2 2

Finalmente, fazendo a distributiva, conseguimos indicar a função que expressa o momento fletor M F l nas seções entre B e C em função da posição x que está sendo avaliada:

M F l = - q 2 x 2 + q L x - q L 2 2

Passo 5

Por fim, podemos seguir para o último passo dos métodos da estática, que são os:

No passo anterior, vimos que o momento fletor M F l é descrito por duas funções.

Primeiro, vimos que para o trecho 0 < x < 2 / 3 L , o momento fletor é dado por:

M F l x = - q 2 x 2 + q L 4 x

Analisando essa função, podemos observar que:

  • A sua segunda derivada é negativa. Assim podemos concluir que essa função quadrática possui uma concavidade virada para baixo.
  • O seu ponto crítico (aquele em que a sua primeira derivada é igual à zero) ocorre em x = L / 4 .
  • E que, como ela possui uma concavidade para baixo, esse ponto crítico é um ponto de máximo para a função.

Além disso, podemos calcular o valor do momento fletor no ponto x = 0 :

M F l 0 = 0

No ponto de máximo x = L / 4 :

M F l L / 4 = - q 2 L 4 2 + q L 4 L 4 = q L 2 32

E no ponto x = 2 / 3 L :

M F l 2 3 L = - q 2 2 3 L 2 + q L 4 2 3 L = - q L 2 18

Em seguida, para o trecho 2 / 3 L < x < L , o momento fletor é dado por:

M F l = - q 2 x 2 + q L x - q L 2 2

Analisando essa função, observamos:

  • Que ela possui uma concavidade para baixo, uma vez que a sua segunda derivada é negativa;
  • Que o seu ponto crítico (aquele em que a sua primeira derivada é igual à zero) ocorre em x = L ;
  • E que, como essa função possui uma concavidade para baixo, esse ponto crítico é um ponto de máximo.

Além disso, podemos calcular o momento fletor no ponto x = 2 / 3 L :

M F l 2 3 L = - q 2 2 3 L 2 + q L 2 3 L - q L 2 2

O que vai dar:

M F l 2 3 L = - q L 2 18

E podemos calcular o momento fletor no ponto de máximo x = L :

M F l L = - q 2 L 2 + q L L - q L 2 2

Que vai dar:

M F l L = 0

Assim...

Usando todos esses pontos e conhecendo a concavidade dessas curvas, conseguimos desenhar o diagrama de momento fletor para essa viga:

E, desse diagrama de momento fletor, conseguimos retirar que o momento fletor máximo nessa viga em termos absolutos é:

M F l m á x = - q L 2 18

Além disso...

Para resolver esse exercício, não é necessário fazer o diagrama da força cortante V na viga.

Mas mesmo assim, muitos professores pedem que esse diagrama seja sempre feito.

Então, caso você queira fazer esse diagrama em casa e comparar os resultados, ele fica assim:

Passo 6

Agora, vamos estudar as propriedades geométricas da seção transversal dessa viga.

No passo 1, nós já vimos que a posição da linha neutra da seção transversal dessa viga é y - = a / 2 , uma vez que a seção transversal é simétrica em relação à horizontal.

Então só nos resta calcular o:

Para calcular o momento de inércia da área I z z da seção transversal dessa viga, devemos observar a sua geometria:

Em seguida, devemos separar essa geometria em elementos numerados.

Aqui, nós temos duas opções:

A primeira opção é separar a geometria da seção em 4 retângulos numerados:

Mas essa opção vai resultar em cálculos desnecessariamente complicados.

a segunda opção é separar a geometria em um quadrado maior de lado a (elemento 1 na figura abaixo) e um furo na forma de uma quadrado menor de lado b (elemento 2 na figura):

Sendo que, nessa segunda opção, precisamos considerar o elemento que é um furo como um elemento de momento de inércia da área I i negativo e de área A i negativa.

A segunda opção facilita os cálculos, então vamos escolher ela!

Definidos os elementos que compõem a geometria da nossa seção, devemos calcular em seguida o momento de inércia da área I i de cada elemento.

No nosso caso, tanto o elemento 1 quanto o elemento 2 são quadrados.

Dessa forma, podemos usar para eles a fórmula do momento de inércia da área de um retângulo:

I i = b h 3 12

Para o elemento 1 , um quadrado de lado a , nós vamos ter uma base b = a e uma altura h = a , de tal forma que:

I 1 = a a 3 12 = a 4 12

Já para o elemento 2 , um quadrado de lado b , vamos ter uma base b e uma altura h = b .

Lembrando que o elemento 2 é um furo e, portanto, deve ter um valor de I i negativo, o seu momento de inércia da área fica assim:

I 2 = - b b 3 12 = - b 4 12

Em seguida, como os elementos 1 e 2 da nossa seção já estão centrados na linha neutra da seção, não precisamos usar o teorema dos eixos paralelos.

Assim, o momento de inércia da área I z z da seção transversal como um todo vai ser dado pela soma:

I z z = I 1 + I 2

Substituindo os valores de I 1 e I 2 , vamos ter:

I z z = a 4 12 - b 4 12

O que significa que:

I z z = a 4 - b 4 12

Passo 7

Finalmente, podemos calcular a tensão de flexão σ máxima na nossa viga.

Aplicando a fórmula de flexão, temos:

σ = - M F l y I z z

Aí, sabendo que a tensão máxima na viga vai ocorrer:

  • Na seção em que o momento fletor M F l tem seu valor máximo em termos absolutos M F l m á x = - q L 2 / 18 ;
  • E nos pontos em que y tem seus valores máximos em termos absolutos, que são no topo da seção da viga, onde y t o p o = a / 2 , e na base da seção, onde y b a s e = - a / 2 ,

E substituindo I z z = ( a 4 - b 4 ) / 12 , encontramos que as tensões máximas na nossa viga vão ser:

σ m á x = - - q L 2 18 ± a / 2 a 4 - b 4 12

Simplificando essa expressão, temos:

σ m á x = ± q L 2 a ( a 4 - b 4 ) 12 18 * 2

E, como 12 / 18 * 2 = 6 / 18 = 1 / 3 , isso significa que:

σ m á x = ± q L 2 a 3 a 4 - b 4

Sendo que o valor positivo, de tração, ocorre o no topo da seção da viga, onde y = a / 2 , e o valor negativo, de compressão, ocorre na base, onde y = - a / 2 .

(Isso porque o nosso momento fletor M F l é negativo. Caso ele fosse positivo, o contrário ocorreria!)

Aí, para fornecer a nossa resposta final, podemos indicar somente o valor absoluto:

σ m á x = q L 2 a 3 a 4 - b 4

E assim encontramos a nossa resposta para o exercício!

Passo 8

Por último, o exercício ainda quer que a gente faça um rascunho da distribuição de tensões σ na seção onde ocorre essa tensão σ m á x .

Então vamos pensar...

Definindo uma coordenada y começando na base da seção da viga:

...vamos ter que:

  • Na base da seção, na posição 0 , a tensão σ vai ser igual a - q L 2 a / 3 a 4 - b 4 , como acabamos de ver no passo anterior;
  • No topo da seção, de posição a , ela vai ser igual a q L 2 a / 3 a 4 - b 4 , também como acabamos de ver;
  • E no centro da seção, de posição a / 2 , onde há a linha neutra de tal forma que a posição y da fórmula da flexão vai ser nula, a tensão σ = - M F l y / I z z vai ser nula.

Aí, marcando esses pontos em um gráfico, e ligando eles por uma reta, vamos ter o nosso rascunho da distribuição de tensões σ na seção:

E assim terminamos de vez o exercício!

Resposta

σ m á x = q L 2 a 3 a 4 - b 4

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