Exercícios Resolvidos de Fórmula da Flexão

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 339-5.22.

Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e carregamento mostrados na figura, e determine a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor.

Dados: Um perfil W 310   ×   38,7 possui uma seção transversal simétrica na horizontal e na vertical, com altura de 310   m m e momento de inércia da área I z z = 85,1 * 10 6   m m 4 .

Passo 1

O que está acontecendo?

O carregamento nessa viga vai produzir ao longo dele esforços internos na forma de forças cortantes V e momentos fletores M F l .

Daí que, em uma certa seção dessa viga, o momento fletor M F l vai possuir o seu valor máximo em termos absolutos.

Nessa seção, ocorrerá a tensão normal de flexão σ máxima nessa viga, de acordo com a fórmula da flexão:

σ = - M F l y I z z

Onde:

  • M F l (ou só “ M ”) é o momento fletor em uma seção transversal da viga;
  • y é a posição do ponto da seção em que se quer calcular a tensão σ em relação à linha neutra da seção;
  • & I z z (ou só “ I ”) é o momento de inércia da área da seção.

Além disso...

A viga foi feita com um perfil padronizado “ W 310   ×   38,7 ”, de altura h = 310   m m e momento de inércia da área I z z = 85,1 * 10 6   m m 4 .

Esse perfil, por ser simétrico, ainda tem uma linha neutra que passa bem no meio dele:

Dessa forma, as posições y em relação à linha neutra de valores críticos (máximos) nesse perfil vão ser y = h / 2 para o topo da seção e y = - h / 2 para a base.

E o que é que o exercício quer?

Primeiro, ele quer que a gente faça os diagramas de força cortante V e momento fletor M F l para essa viga.

Para tanto, podemos recorrer aos métodos da estática: DCL, equilíbrio, análise dos esforços internos & diagramas de esforços internos.

Em seguida, ele quer que a gente determine a tensão normal de flexão σ máxima nessa viga.

Para tanto, podemos aplicar a fórmula da flexão σ = - M F l y / I z z utilizando os valores máximos/críticos encontrados anteriormente para M F l e y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar com o primeiro passo dos métodos da estática, que é o DCL ou:

Para essa viga:

  • O apoio fixo em A vai realizar uma reação na horizontal H A (que vai acabar sendo nula e pode ser omitida do DCL) e uma reação na vertical V A .
  • E o apoio móvel em B vai realizar uma reação na vertical V B ;

Dessa forma, o nosso DCL vai ficar assim:

Passo 3

Feito o DCL, seguimos para o:

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, vamos ter:

∑ F V = 0

Na hora de fazer esse somatório, consideramos a força distribuída uniforme de 40   k N / m que atua ao longo do comprimento A C de 2,4   m da viga como uma força equivalente:

40   k N / m 2,4   m = 96   k N

Dessa forma, o nosso somatório de forças na vertical fica assim:

V A + V B - 96   k N = 0

O que significa que:

V A + V B = 96   k N

Em seguida, podemos aplicar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A :

∑ M A = 0

Aqui, como a força distribuída de 40   k N / m é uniforme, podemos considerar que a sua força equivalente de 96   k N atua bem no meio do comprimento A C de 2,4   m .

Dessa forma, temos que o braço da força equivalente de 96   k N em relação ao ponto A vai ser 2,4   m / 2 = 1,2   m .

Sabendo disso e considerando os momentos no sentido anti-horário como positivo ( + ), o nosso somatório de momentos fica assim:

25   k N * m - 15   k N * m - 96   k N 1,2   m + V B 3,6   m = 0

Isolando V B , temos:

V B = - 25   k N * m + 15   k N * m + ( 96   k N ) ( 1,2   m ) 3,6   m

Calculando tudo, encontramos que:

V B = 29,22   k N

Em seguida, substituindo isso na expressão anterior V A + V C = 96   k N , encontramos que:

V A = 66,78   k N

Passo 4

Encontrados os valores dos esforços externos atuantes na nossa viga, podemos seguir agora para a:

Na nossa viga, temos descontinuidades:

  • em A ; (início da viga, início de uma força distribuída, força concentrada e momento concentrado)
  • em C ; (fim de uma força distribuída)
  • & em B . (final da viga, força concentrada e momento concentrado)

Então precisamos avaliar as seções entre A e C & as seções entre C e B :

Feitos os desenhos acima, precisamos aplicar as condições de equilíbrio em cada situação para conseguirmos descrever os esforços internos V e M F l na viga.

Primeiro, analisamos as seções entre A e C .

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, temos:

∑ F V = 0

Aqui, a força distribuída uniforme de 40   k N / m que atua ao longo do comprimento x pode ser considerada como uma força equivalente 40   k N / m * x .

Dessa forma, o nosso somatório de forças fica assim:

V A - 40 x - V = 0

Substituindo V A = 66,78   k N e isolando V , encontramos que:

V = 66,78 - 40 x

Em seguida, aplicando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção, temos:

∑ M = 0

Aqui, como a força distribuída de 40   k N / m é uniforme, podemos considerar que a sua força equivalente de 40   k N / m * x atua bem no meio do pedaço de viga que estamos estudando.

Sendo assim, o nosso somatório de momentos fica assim:

25 + M F l + 40 x x 2 - V A x = 0

Substituindo V A = 66,78   k N e isolando M F l , encontramos que:

M F l = - 20 x 2 + 66,78 x - 25

Depois, analisamos as seções entre C e B :

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, temos que:

∑ F V = 0

V + V B = 0

Isolando V e substituindo V B = 29,22   k N , encontramos que:

V = - 29,22   k N

Em seguida, aplicando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção, temos:

∑ M = 0

Considerando que os momentos no sentido anti-horário são positivos ( + ), esse somatório fica assim:

V B 3,6 - x - M F l - 15 = 0

Isolando M F l e substituindo V B = 29,22   k N , temos que:

M F l = 29,22 3,6 - x - 15

Fazendo a distributiva e arrumando tudo, encontramos que:

M F l = 105,192 - 29,22 x - 15

M F l = 90,192 - 29,22 x

Passo 5

Por fim, podemos seguir para o último passo dos métodos da estática, que são os:

Para a força cortante V , temos:

  • Que ela segue a equação V = 66,78 - 40 x quando 0 < x < 2,4   m , variando linearmente entre os pontos V 0   m = 66,78 - 40 0 ≅ 66 , 8   k N e V 2,4   m = 66,78 - 40 2,4   m ≅ - 29 , 2 ;
  • E que ele é igual - 29,22   k N ≅ - 29,2   k N quando 2,4   m < x < 3,6   m .

Dessa forma, o diagrama da força cortante V fica assim:

Quanto ao momento fletor M F l , ele é descrito por duas equações:

Primeiro, para 0 < x < 2,4   m , ele é descrito pela função quadrática:

M F l ( x ) = - 20 x 2 + 66,78 x - 25

O que significa que ele varia parabolicamente, com uma concavidade para baixo (uma vez que a segunda derivada dessa função acima é negativa), entre os pontos:

M F l 0 = - 25   k N * m

&

M F l 2,4   m = - 20 2,4 2 + 66,78 2,4 - 25 ≅ 20,1   k N * m

Além disso...

Fazendo a primeira derivada dessa função e igualando-a a zero, encontramos que o ponto crítico dessa função é x = 66,78 / 40 = 1,6695   m ≅ 1,67   m .

E, como a função tem uma concavidade para baixo, esse ponto crítico vai ser o seu ponto de máximo.

Calculando o valor de M F l para esse ponto, temos:

M F l 1,6695   m = - 20 1,6695 2 + 66,78 1,6695 - 25 ≅ 30,7   k N * m

Em seguida, para o trecho 2,4   m < x < 3,6   m , temos uma função de primeiro grau:

M F l ( x ) = 90,192 - 29,22 x

Dessa forma, temos que nesse trecho, o momento fletor varia linearmente entre os pontos:

M F l 2,4   m = 90,192 - 29,22 2,4 ≅ 20,1   k N * m

&

M F l 3,6   m = 90,192 - 29,22 3,6 = - 15   k N * m

Tendo tudo o que vimos em mente, conseguimos desenhar o diagrama de momento fletor para essa viga, que fica assim:

Aí, desse diagrama acima, conseguimos identificar que o momento fletor M F l máximos em termos absolutos nessa viga é:

M F l m á x = 30,7   k N * m

E assim terminamos toda a parte dos métodos da estática!

Passo 6

Agora, como o exercício já nos forneceu as propriedades geométricas da seção transversal dessa viga, podemos seguir direto para o cálculo da tensão normal de flexão σ máxima na viga.

Para tanto, podemos aplicar a fórmula da flexão:

σ = - M F l y I z z

Substituindo nessa fórmula:

  • O momento fletor máximo na viga M F l = M F l m á x = 30,7   k N * m = 30,7 * 10 6   N * m m ;
  • Os valores críticos de y , y = ± h / 2 = ± 310   m m / 2 = ± 155   m m ;
  • E o valor de I z z , I z z = 85,1 * 10 6   m m 4 ,

Vamos encontrar as tensões máximas de tração e de compressão na nossa viga:

σ m á x = - ( 30,7 * 10 6   N * m m ) ( ± 155   m m ) ( 85,1 * 10 6   m m 4 )

Simplificando, isso fica assim:

σ m á x = ∓ 30,7 155 85,1 N m m 2

Calculando tudo e sabendo que N / m m 2 é o mesmo que M P a , encontramos que as tensões máximas de tração e compressão nessa viga são:

σ m á x ≅ ∓ 55,9   M P a

Sendo que o valor negativo, de compressão, ocorre no topo da viga, onde y = 155   m m , e o valor positivo, de tração, ocorre na base da viga, onde y = - 155   m m .

Finalmente, na hora de darmos o resultado final do exercício, podemos indicar só o valor absoluto desse resultado:

Resposta

σ m á x ≅ 55,9   M P a

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