Exercícios Resolvidos de Fórmula da Flexão

Elaboração Própria

A viga representada na imagem está sofrendo um momento M = 100   k N * m .

( a ) Determine a posição y - da linha neutra da seção transversal da viga.

( b ) Determine o momento de inércia da área I seção transversal da viga.

( c ) Calcule as tensões máximas de tração e compressão na viga.

( d ) Represente em um gráfico a distribuição de tensão em uma seção transversal da viga.

Dica do Expert: O furo circular pode ser considerado como um elemento com uma área negativa e um momento de inércia da área negativo.

Passo 1

O que está acontecendo?

A viga retangular, de base b = 10   c m e altura h = 20   c m , tem um furo de diâmetro d = 5   c m (e, consequentemente, raio r = d / 2 = 2,5   c m .)

É aplicada nela um momento M = 100   k N * m , o que causa nela tensões normais de flexão dadas pela fórmula da flexão:

σ = - M y I

Onde:

  • y é a posição do ponto em que se quer avaliar a tensão de flexão σ em relação à linha neutra da viga;
  • & I é o momento de inércia da área da seção transversal dessa viga.

E o que é que o exercício quer?

Primeiro, no item ( a ) , ele quer saber a posição y - da linha neutra da seção transversal dessa viga, que pode ser encontrada usando a fórmula:

y - = A i y - i A i

Sendo que uma forma de identificar os termos A i e y - i dessa equação é numerar o retângulo e o furo da viga e preencher uma tabela como a da figura abaixo:

Lembrando que precisamos considerar que o item 2 possui uma área negativa, por se tratar de um furo.

Em seguida, no item ( b ) , ele quer que a gente calcule o momento de inércia da área I para a seção transversal dessa viga.

Para tanto, devemos lembrar:

1. As fórmulas de I para elementos retangulares e circulares:

I r e t â n g u l o = b h 3 12

&

I c í r c u l o = π r 4 4

2. Que o valor final de I para a viga vai ser dado por:

I = I i + A i d i 2

Onde I i é o valor de I para cada elemento que compõe a viga, A i a área e d i a distância do centro de cada elemento (de posição y - i ) à linha neutra (de posição y - ).

& 3. Que o momento de inércia da área I i e a área A i de um furo devem ser contabilizados como negativos.

Depois, no item ( c ) , o exercício quer que a gente calcule as tensões de flexão σ = - M y / I máximas de tração ( + ) e de compressão ( - ) na viga.

Essas tensões máximas ocorrem no topo e na base da seção, que são os pontos com o maior valor positivo e negativo, respectivamente, da posição y em relação à linha neutra.

Por último, no item ( d ) , precisamos desenhar como fica a distribuição de tensões em uma seção transversal dessa viga, o que pode ser feito aproveitando os resultados do item ( c ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pelo item ( a ) ...

Para determinar a posição y - da linha neutra, podemos olhar para a figura original do exercício:

Numerar os elementos que compõem a seção transversal dessa viga e identificar a base da viga como a posição 0 :

E preencher, em uma tabela, o valor das áreas A i , das posições dos centros y - i e do produto desses valores de cada elemento, considerando furos como elementos de área negativa:

Nessa tabela, a área do círculo foi obtida usando a fórmula A = π r 2 e é negativa uma vez que o círculo se trata de um furo.

Por último, fazemos o somatório das áreas A i e dos produtos A i y - i e colocamos esses resultados na última linha da tabela:

Com isso, podemos finalmente calcular a posição y - da linha neutra:

y - = A i y - i A i = 1705,475   c m 3 180,365   c m 2 = 9,456   c m

E assim, o item ( a ) está resolvido!

Passo 3

Seguindo com o item ( b ) ...

Começamos calculando o momento de inércia da área I i de cada elemento.

Para o elemento 1 , retangular, temos:

I 1 = b h 3 12

Substituindo b = 10   c m e h = 20   c m , encontramos:

I 1 = 10 20 3 12 = 6667   c m 4

E para o elemento 2 , que é um furo circular, temos:

I 2 = - π r 4 4

Substituindo r = 2,5   c m , encontramos:

I 2 = - 30,68   c m 4

Em seguida, temos que determinar as distâncias d i entre o centro de cada elemento e a linha neutra:

O centro do elemento 1 está a uma altura de 10   c m , então sua distância d 1 vai dar:

d 1 = 10 - 9,456 = 0,544   c m

E o centro do elemento 2 está a uma altura de 15   c m , então a sua distância dá:

d 2 = 15 - 9,456 = 5,544   c m

Com isso, podemos agora aplicar a fórmula abaixo para determinar o momento de inércia da área da seção transversal da viga:

I = I i + A i d i 2

Realizando esse somatório, temos:

I = I 1 + A 1 d 1 2 + ( I 2 + A 2 d 2 2 )

Substituindo os valores:

  • I 1 = 6667   c m 4 , A 1 = 200   c m 2 e d 1 = 0,544   c m ;
  • & I 2 = - 30,68   c m 4 , A 2 = - 19,635   c m 2 e d 2 = 5,544   c m ,

E calculando tudo, vamos encontrar que:

I = 6092   c m 4

Que é a nossa resposta para o item ( b ) .

Passo 4

No item ( c ) , queremos calcular as tensões de tração ( + ) e compressão ( - ) máximas nessa viga devido à sua flexão.

Sabemos que essas tensões vão ser regidas pela fórmula da flexão:

σ = - M y I

E sabemos os valores de M (do enunciado) e I (do passo anterior).

Ou seja, só falta pensarmos nos valores máximos de y para encontrarmos as tensões σ máximas.

Então vamos pensar...

Por um lado, temos que quando y tiver seu valor negativo máximo, σ = - M y / I vai ter o seu valor positivo (de tração) máximo.

Esse valor negativo máximo de y ocorre na base da viga, onde a posição y dos pontos em relação à linha neutra vale:

y b a s e = - 9,456   c m

Dessa forma, temos que:

σ m á x , t r a ç ã o = - M y b a s e I

Substituindo:

  • M = 100   k N * m = 10000   k N * c m ;
  • y b a s e = - 9,456   c m ;
  • & I = 6092   c m 4 ,

Encontramos que:

σ m á x , t r a ç ã o = 15,52 k N c m 2

k N / c m 2 não é uma unidade usual, então precisamos converter esse resultado para N / m m 2 = M P a :

σ m á x , t r a ç ã o = 15,52 k N c m 2 = 15,52 1000   N 100   m m 2 = 155 , 2 N m m 2 = 155 , 2   M P a

Por outro lado, quando y tiver seu valor positivo máximo, σ = - M y / I vai ter o seu valor negativo (de compressão) máximo.

Essa valor positivo máximo de y ocorre no topo da viga, onde a posição y dos pontos em relação à linha neutra vale:

y t o p o = 20   c m - 9,456   c m = 10,544   c m

Dessa forma, temos que:

σ m á x , c o m p . = - M y t o p o I

Substituindo:

  • M = 10   k N * m = 10000   k N * c m ;
  • y t o p o = 10,544   c m ;
  • & I = 6092   c m 4 ,

Encontramos que:

σ m á x , c o m p . = - 17,31   k N / c m 2

Realizando a conversão de k N / c m 2 para N / m m 2 = M P a , multiplicamos esse valor por 10 , obtendo:

σ m á x , c o m p . = - 173,1   M P a

Passo 5

Resolvido o item ( c ) , agora só falta desenhar um gráfico para a distribuição de tensões σ em uma seção transversal da viga para o item ( d ) .

Considerando um eixo y começando na base da nossa viga, sabemos que:

  • Na base da viga, onde y = 0 , ocorre a tensão máxima de tração σ m á x , t r a ç ã o = 155 , 2   M P a ;
  • Na linha neutra, onde y = y - = 9,456   c m , a tensão é nula; (Isso sempre ocorre na linha neutra!)
  • E no topo da viga, onde y = 20   c m , ocorre a tensão máxima de compressão σ m á x , c o m p . = - 173,1   M P a .

Marcando esses pontos em um gráfico e sabendo que a tensão σ varia linearmente com a variação de y , ficamos com o gráfico abaixo:

E terminamos o exercício!

Resposta

a   y - = 9,456   c m

b   I = 6092   c m 4

c   σ m á x , t r a ç ã o = 152,2   M P a           &           σ m á x , c o m p . = - 173,1   M P a

d   Ver gráfico acima.

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