Exercícios Resolvidos de Fórmula da Flexão

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 351-5.62.

A viga A B suporta uma força uniformemente distribuída de 2   k N / m e duas forças concentradas P e Q . Foi determinado experimentalmente que a tensão normal provocada pelo momento fletor na borda inferior da viga fosse de - 56,9   M P a em A e de - 29,9   M P a em C . Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga, e determine a intensidade das forças P e Q .

Passo 1

O que está acontecendo?

Devido ao carregamento nessa viga, existem ao longo dela esforços internos na forma de forças cortantes V e momentos fletores M F l .

Devido a esses momentos fletores M F l , surgem ao longo da viga tensões normais σ de tração ( + ) e compressão ( - ) de acordo com a fórmula da flexão:

σ = - M F l y I z z

Onde:

  • M F l (ou só “ M ”) é o momento fletor em uma seção transversal da viga;
  • y é a posição do ponto da seção em que se quer calcular a tensão σ em relação à linha neutra da seção;
  • & I z z (ou só “ I ”) é o momento de inércia da área da seção.

Aí...

O exercício nos diz que na borda inferior da viga, nos pontos em que a posição y em relação à linha neutra :

...a tensão σ na seção A é:

σ A , b o r d a   i n f e r i o r = - 56,9   M P a

...enquanto que a tensão σ na seção C é:

σ C , b o r d a   i n f e r i o r = - 29,9   M P a

Sendo que como a seção transversal dessa viga é simétrica, a sua linha neutra fica bem no meio da seção:

O que significa que a posição y em relação à linha neutra dos pontos da borda inferior é:

y b o r d a   i n f e r i o r = - 18   m m

E além disso, o momento de inércia da área I z z dessa seção transversal retangular de base b = 18   m m e altura h = 36   m m pode ser calculado pela fórmula:

I z z = b h 3 12 = 18 36 3 12 = 69984   m m 4

O que tudo isso significa é que...

Aplicando a fórmula da flexão para a borda inferior das seções A e C , vamos conseguir descobrir o valor do momento fletor M F l nessas seções.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o valor das forças P e Q desconhecidas na viga.

Então, o que a gente pode fazer é:

1. Utilizar os métodos da estática (DCL, equilíbrio e análise dos esforços internos) para descobrir o valor do momento fletor M F l nas seções A   e C da viga em função das forças P e Q .

2. Aplicar a fórmula da flexão para a borda inferior das seções A e C para encontrar o valor do momento fletor M F l nas seções A e C .

& 3. Igualar os resultados para o momento fletor em A e C obtidos pelo primeiro e pelo segundo método para podermos isolar e encontrar os valores das forças P e Q .

Ao final, o exercício ainda pede que a gente faça os diagramas de força cortante V e de momento fletor M F l para essa viga.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar com o primeiro passo dos métodos da estática, que é o DCL ou:

Para essa viga, o engaste em A vai realizar:

  • Uma reação na horizontal, H A ; (que vai acabar sendo nula e pode ser omitida do DCL)
  • Uma reação na vertical, V A ;
  • E um momento M A .

Dessa forma, o nosso DCL vai ficar assim:

Passo 3

Feito o DCL, seguimos para o:

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, vamos ter:

F V = 0

Na hora de fazer esse somatório, consideramos a força distribuída uniforme de 2   k N / m que atua ao longo do comprimento A C D de 0,2   m da viga como uma força equivalente:

2   k N / m 0,2   m = 0,4   k N

Dessa forma, o nosso somatório de forças na vertical fica assim:

V A - 0,4   k N - P - Q = 0

O que significa que:

V A = 0,4 + P + Q

Sendo que esse resultado está em k N .

Em seguida, podemos aplicar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A :

M A = 0

Aqui, como a força distribuída de 2   k N / m é uniforme, podemos considerar que a sua força equivalente de 0,4   k N atua no ponto C , bem no meio do comprimento A C D .

Sabendo disso e considerando os momentos no sentido anti-horário como positivo ( + ), o nosso somatório de momentos fica assim:

M A - 0,4   k N 0,1   m - P 0,2   m - Q ( 0,325   m ) = 0

Isolando M A , encontramos que:

M A = 0,04 + 0,2 P + 0,325 Q

Sendo que esse resultado está em k N / m .

Passo 4

Encontrados os valores dos esforços externos atuantes na nossa viga, seguimos para a:

Nessa viga, temos descontinuidades:

  • em A ; (início da viga, início de uma força distribuída, força concentrada e momento concentrado)
  • em D ; (fim de uma força distribuída e força concentrada)
  • & em B . (final da viga e força concentrada)

Então precisamos avaliar as seções entre A e D & as seções entre D e B :

Feitos esses desenhos, precisamos aplicar as condições de equilíbrio em cada caso.

Primeiro, observamos as seções entre A e D .

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, temos:

F V = 0

Aqui, a força distribuída uniforme de 2   k N / m que atua ao longo do comprimento x pode ser considerada como uma força equivalente 2   k N / m * x .

Dessa forma, o nosso somatório de forças fica assim:

V A - 2 x - V = 0

Substituindo V A = 0,4 + P + Q e isolando V , encontramos que:

V = 0,4 + P + Q - 2 x

Sendo que esse resultado está em k N !

Em seguida, aplicando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção, temos:

M = 0

Aqui, como a força distribuída de 2   k N / m é uniforme, podemos considerar que a sua força equivalente de 2   k N / m * x atua bem no meio do pedaço de viga que estamos estudando.

Sendo assim, o nosso somatório de momentos fica assim:

M A + M F l + 2 x x 2 - V A x = 0

Substituindo V A = 0,4 + P + Q e M A = 0,04 + 0,2 P + 0,325 Q , temos:

0,04 + 0,2 P + 0,325 Q + M F l + x 2 - 0,4 + P + Q x = 0

Isolando M F l , encontramos que:

M F l = - x 2 + 0,4 + P + Q x - 0,04 + 0,2 P + 0,325 Q

Sendo que esse resultado está em k N * m !

Em seguida, observamos as seções entre D e B .

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, temos que:

F V = 0

V - Q = 0

O que significa que:

V = Q

Já aplicando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção, temos:

M = 0

- M F l - Q 0,325 - x = 0

Fazendo a distributiva, temos:

- M F l - 0,325 Q + Q x = 0

Por fim, isolando M F l , encontramos que:

M F l = Q x - 0,325 Q

Sendo que esse resultado está em k N * m !

E assim finalizamos a nossa análise dos esforços internos!

Passo 5

Agora, já podemos determinar quais são os momentos fletores M F l nas seções A e C da viga em função das forças P e Q .

Tanto a seção A quanto a seção C estão entre A e D .

Dessa forma, os momentos fletores M F l nessas seções vão ser descritos pela fórmula:

M F l ( x ) = - x 2 + 0,4 + P + Q x - 0,04 + 0,2 P + 0,325 Q

Para a seção A , temos que x = 0 , de tal forma que:

M F l A = M F l 0 = 0 + 0 - 0,04 + 0,2 P + 0,325 Q

M F l A = - 0,04 - 0,2 P - 0,325 Q

Já para a seção C , temos que x = 0,1   m , de tal forma que:

M F l C = M F l 0,1   m = - 0,1 2 + 0,4 + P + Q 0,1 - ( 0,04 + 0,2 P + 0,325 Q )

Desenvolvendo essa expressão, temos:

M F l C = - 0,01 + 0,04 + 0,1 P + 0,1 Q - 0,04 - 0,2 P - 0,325 Q

E, simplificando isso, encontramos que:

M F l C = - 0,01 - 0,1 P - 0,225 Q

Lembrando que esses resultados para o momento fletor M F l estão em k N * m !

Passo 6

Em seguida, precisamos encontrar os momentos fletores M F l pelo segundo método, que é aplicando a fórmula da flexão para as bordas inferiores das seções A e C .

Aplicando a fórmula da flexão, temos:

σ = - M F l y I z z

Primeiramente, para a borda inferior da seção A , vamos substituir:

  • σ = σ A , b o r d a   i n f e r i o r = - 56,9   M P a = - 56,9   N / m m 2 ;
  • y = - 18   m m ;
  • I z z = 69984   m m 4 ;
  • & M F l = M F l A ,
  • De tal forma que:

    - 56,9   N / m m 2 = - M F L A - 18   m m 69984   m m 4

    Isolando M F l A , temos que:

    M F L A = - ( - 5 6 , 9   N / m m 2 ) ( 69984   m m 4 ) ( - 18   m m )

    Simplificando isso, encontramos:

    M F l A = - 5 6 , 9 69984 18   N * m m

    O que dá:

    M F l A = - 2 21227 , 2   N * m m

    Agora, como o resultado que encontramos para M F l A pelos métodos da estática estão em k N * m , vamos converter esse resultado também para k N * m , obtendo que:

    M F l A = - 0 , 221 2 3   k N * m

    Depois, para a borda inferior da seção C , substituímos:

  • σ = σ C , b o r d a   i n f e r i o r = - 29,9   M P a = - 29,9   N / m m 2 ;
  • y = - 18   m m ;
  • I z z = 69984   m m 4 ;
  • & M F l = M F l C ,

De tal forma que:

- 29,9   N / m m 2 = - M F L C - 18   m m 69984   m m 4

Isolando M F l C e simplificando tudo, encontramos que:

M F l C = - 29,9 69984 18   N * m m

O que dá:

M F l C = - 116251 , 2   N * m m - 0,116 25   k N * m

Passo 7

Determinados os valores de M F l A e M F L C pelos dois métodos e estando tudo em k N * m , podemos igualar agora esses valores.

Primeiro, para M F l A , temos:

M F l A = M F l A

- 0,04 - 0,2 P - 0,325 Q = - 0,221 23  

Isolando P , encontramos que:

P = - 0,221 23 + 0,04 + 0,325 Q ( - 0,2 ) = 0,90 615 - 1,625 Q

Já para M F l C , temos:

M F l C = M F l C

- 0,01 - 0,1 P - 0,225 Q = - 0,116 25

Substituindo P = 0,90615 - 1,625 Q , isso fica assim:

- 0,01 - 0,1 0,90 615 - 1,625 Q - 0,225 Q = - 0,116 25

Fazendo a distributiva:

- 0,01 - 0,090615 + 0,16 25 Q - 0,225 Q = - 0,116 25

Simplificando:

- 0,10 0615 - 0 , 0625 Q = - 0,116 25

Isolando Q , encontramos que:

Q = - 0,116 25 + 0,100615 - 0,062 5 = - 0,015 635 - 0,062 5 0,250   k N

Inserindo esse resultado em P = 0,90615 - 1,625 Q , temos:

P = 0,90615 - 1,625 0,250 0,500   k N

Ou seja, temos que:

P = 0,500   k N = 500   N

&

Q = 0,250   k N = 250   N

Passo 8

Aqui, praticamente já resolvemos o exercício: só falta fazermos os:

Para a força cortante V , temos que:

Primeiro, ela é descrita pela equação V = 0,4 + P + Q - 2 x no trecho 0 < x < 0,2   m .

Substituindo P = 0,500   k N e Q = 0,250   k N , essa equação fica assim:

V x = 0,4 + 0,5 + 0,25 - 2 x

V x = 1,15 - 2 x

O que significa que a força cortante varia linearmente entre os pontos V 0 = 1,15   k N e V 0,2   m = 1,12 - 2 0,2 = 0,75   k N .

Depois, ela é dada por V = Q = 0,25   k N no trecho 0,2   m < x < 0,325   m .

Dessa forma, o diagrama da força cortante V fica assim:

Já para o momento fletor M F l , temos que:

Primeiro, ele é descrito por:

M F l ( x ) = - x 2 + 0,4 + P + Q x - 0,04 + 0,2 P + 0,325 Q

...no trecho 0 < x < 0,2   m .

Substituindo P = 0,500   k N e Q = 0,250   k N , essa equação fica assim:

M F l x = - x 2 + 1,15 x - 0,22125

O que significa que o momento fletor varia parabolicamente, com uma concavidade para baixo (uma vez que a segunda derivada da função acima é negativa), entre os pontos:

M F l 0 = - 0,22125   k N * m

&

M F l 0,2   m = - 0,2 2   + 1,15 0,2 - 0,22125 = - 0,03125   k N * m

Além disso, fazendo a primeira derivada dessa função e igualando-a a zero, encontramos que o seu ponto crítico é x = 0,575   m , o que está fora do trecho 0 < x < 0,2   m .

Em seguida, ele é descrito por:

M F l ( x ) = Q x - 0,325 Q

...no trecho 0,2   m < x < 0,325   m .

Substituindo Q = 0,250   k N , isso fica assim:

M F l x = 0,25 x - 0 , 0 8125

O que significa que M F l varia linearmente entre os pontos:

M F l 0,2   m = 0,25 ( 0,2 ) - 0,08125 = - 0,03125   k N * m

&

M F l 0,325   m = 0,25 0,325 - 0,08125 = 0

Dessa forma, o nosso diagrama de momento fletor fica assim:

E assim terminamos o nosso exercício!

Resposta

P = 500   N

Q = 250   N

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