Exercícios Resolvidos de Gases Ideais

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Enunciado

Uma bolha de ar de 20   c m ³ está no fundo de um lago a 40   m profundidade, onde a temperatura é 4 ° C . Ela se solta e vai para a superfície, onde a temperatura é de   20 ° C . Considere a temperatura da bolha como sendo a mesma da água à sua volta e encontre o seu volume exato no momento antes em que alcança a superfície – ainda na água.

Passo 1

Vamos que vamooos !!

Vamos desenhar o que está acontecendo para ficar mais claro:

Vamos guardar esta informação no coração, ok?

Bom galerinha, se o gás é ideal vocês já sabem qual equação usar, não é?

P V = n R T

Onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, T a temperatura e R a constante dos gases ideais ou constante de Clapeyron.

Bom, como a quantidade de ar dentro da bolha não varia, n é constante assim como a contante dos gases ideais!

Então, como o termo n R não varia nestas situações, vamos passar a temperatura para o outro lado da igualdade dividindo:

P V T = n R = c o n s t a n t e

Se este termo é igual para as duas situações podemos escrever:

P i V i T i = P f V f T f

Achamos a equação que precisamos, mas queremos o volume final ( V f ) , certo? Então temos que dar um jeito do V f ficar sozinho.

Primeiro vamos passar T f para o outro lado da igualdade multiplicando:

P i V i T f T i = P f V f

E a pressão final ( P f ) vai para o outro lado, mas dividindo:

P i V i T f T i P f = V f

Shoow de bolinhas!! Já achamos a equação, agora só precisamos dos valores para cada um dos termos.

Passo 2

Para a situação inicial temos:

V i = 20   c m 3

T i = 4 ° C

Bom, a temperatura deve ser dada em K e o volume em m³ !! Vamos lembrar das transformações?

T K = T C + 273

Então:

T i = 4 ° C + 273 = 277   K

E para o volume temos que tomar cuidado. Para passar de c m para metros precisamos multiplicar por 10 - 2 :

c m = 10 - 2 m

Mas precisamos passar c m 3 para m 3 , então basta elevar os dois lados ao cubo

c m 3 = 10 - 2 m 3

Quando elevamos uma potência a algum expoente, temos que multiplicar os expoente

c m 3 = 10 - 6 m 3

Então:

V i = 20 × 10 - 6 m 3

E a pressão? Bom, a pressão vai ser devido a pressão atmosférica mais a pressão da coluna de água, não é?

Vamos colocar matematicamente:

P i = P a t m + ρ g h

Algumas inforações não foram dadas no enunciado, é imporante que saiba de cabeça

P a t m = 1,01 × 10 5   P a

ρ á g u a = 1000 k g m 3

g = 9,81 m s 2

Lembrando que:

h = 40   m

Substituindo:

P i = 1,01 × 10 5   P a + 1000 k g m 3 9,81 m s 2 40   m

P i = 4,93 × 10 5   P a

Passo 3

Achamos tudo que queríamos para a situação inicial, agora só nos resta achar os dados para a posição final!!

T f = 20 ° C + 273 = 293   K

E a pressão final, como a bolha está na superfície, é somente a pressão atmosférica:

P f = P a t m = 1,01 × 10 5   P a

E agora é só substituir:

V f = 4,93 × 10 5   P a 20 × 10 - 6 m 3 293   K 277   K 1,01 × 10 5   P a

V f = 1,03 × 10 - 4   m 3

Para transformar em c m ³ para ficar mais legal, vamos usar a relação do Passo 2 e fazer uma regrinha de três bem simples:

1 c m 3 → 10 - 6 m 3 V f → 1,03 × 10 - 4   m 3

Multiplicando cruzado:

10 - 6 m 3 V f = 1   c m 3 1,03 × 10 - 4   m 3

Para isolar o V f , o termo 10 - 6 m 3 passa para o outro lado da igualdade dividindo:

V f = 1   c m 3 1,03 × 10 - 4   m 3 10 - 6 m 3

Repare que as unidade m 3 em cima e em baixo podem ser cortadas, restando apenas

V f = 103   c m 3

Essa foi massa demais, não foi?!

Resposta

V f = 103   c m 3

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