Exercícios Resolvidos de Hipérboles

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Enunciado

Nas cônicas da figura os focos da hipérbole são vértices da elipse, os focos da elipse são vértices da hipérbole e o foco da parábola é um vértice da elipse. Sabendo que a equação da elipse é

x 2 16 + y 2 7 = 1

determine as equações da parábola e da hipérbole.

Passo 1

Primeiro vamos encontrar o c da elipse, pois ele define onde está o foco dela.

Da equação da elipse, sabemos que a ² = 16 e b ² = 7 , logo, como c 2 = a 2 - b ² :

c 2 = 16 - 7

c = 3

Já o a da elipse define onde está o seu vértice:

a 2 = 16

a = 4

Passo 2

Belezinha, o problema falou pra gente que o foco da elipse ( c ) é o vértice da hipérbole ( a ) e o vértice da elipse ( a ) é o foco da hipérbole ( c ) .

Então na hipérbole, a = 3 e c = 4 . Bora encontrar o b :

b 2 = 4 2 - 3 ²

b ² = 7

Então a equação da hipérbole é:

x 2 9 - y 2 7 = 1

Passo 3

O foco da parábola vai ser o outro vértice da elipse, ou seja, b . Então p 2 = 7 → p = 2 7 .

Substituindo na expressão da parábola:

x 2 = 2 p y

x 2 = 4 7 y

y = x 2 4 7

Resposta

Hipérbole: x 2 9 - y 2 7 = 1

Parábola: y = x 2 4 7

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