Exercícios Resolvidos de Hipérboles

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Enunciado

Determinar o centro, um esboço do gráfico, os vértices e os focos da hipérbole de equação:

9 x 2 - 4 y 2 - 54 x + 8 y + 113 = 0

Passo 1

Temos a expressão de um hipérbole e por meio dela devemos determinar: centro, vértices, focos e ainda fazer um esboço.

Vamos começar, então!!

Passo 2

Primeiro, devemos deixar a expressão parecida com uma das formas reduzidas que vimos na teoria!! Para isso, vamos completar quadrados e ajeitar a expressão:

9 x 2 - 4 y 2 - 54 x + 8 y + 113 = 0

Separando as coias que tem x e y

9 x 2 - 6 x - 4 y 2 - 2 y + 113 = 0

Podemos reescrever essa parte com x da seguinte maneira

9 x 2 - 6 x = 9 x 2 - 6 x + 9 - 9 = 9 x 2 - 3 - 9 = 9 x 2 - 3 - 81

E vamos fazer a mesma coisa pra y

4 y 2 - 2 y = 4 y 2 - 2 y + 1 - 1 = 4 y - 1 2 - 1 = 4 y 2 - 1 - 4

Assim a nossa equação fica

9 x - 3 2 - 81 - 4 y - 1 2 + 4 + 113 = 0

9 x - 3 2 - 4 y - 1 2 = - 36

Dividindo tudo por - 36 , temos:

y - 1 2 9 - x - 3 2 4 = 1

Passo 3

Chegamos na forma do CASO 3. Com a expressão nesse formato conseguimos identificar o valor de a e b . O valor de a 2 continua a ser o maior valor do denominador, e o b 2 o menor, assim:

a 2 = 9 → a = 3

b 2 = 4 → b = 2

Para achar o valor de c , usamos a relação c 2 = a 2 + b 2 :

c = 13

Passo 4

Já temos os valores de a ,   b e c . Como estamos no CASO 3, vamos fazer uma mudança de coordenadas para então resolvermos o problema num sistema x ' y ' como se fosse o CASO 2. Assim, mudando as coordenadas por:

x ' = x - 3

y ' = y - 1

Nossa equação no sistema x ' y ' fica:

y ' 2 9 - x ' 2 4 = 1

Pronto, agora estamos no CASO 2, e achamos os parâmetros normalmente.

Nossa hipérbole estará como na figura acima no sistema x ' y ' , então teremos:

C = 0 ,   0

F 1 = 0 ,   c

F 2 = 0 ,   - c

A 1 = 0 ,   a

A 2 = 0 ,   - a

Substituindo os valores de a = 3 e c = 13

C = 0 ,   0

F 1 = 0 ,   13

F 2 = 0 ,   - 13

A 1 = 0 ,   3

A 2 = 0 ,   - 3

Passo 5

Mas, cuidado, ainda não terminamos, pois esses valores que encontramos acima estão no sistema x ' y ' . Vamos voltar para o sistema x y usando as seguintes relações:

x ' = x - 3

y ' = y - 1

C = 0 ,   0 n o   x ' y '

0 = x - 3 → x = 3

0 = y - 1 → y = 1

C = 3 ,   1   n o   x y

F 1 = 0 ,   13   n o   x ' y '

0 = x - 3 → x = 3

13 = y - 1 → y = 13 + 1

F 1 = 3 ,   1 + 13   n o   x y

F 2 = 0 ,   - 13   n o   x ' y '

0 = x - 3 → x = 3

- 13 = y - 1 → y = 1 - 13

F 2 = 3 ,   1 - 13   n o   x y

A 1 = 0 ,   3   n o   x ' y '

0 = x - 3 → x = 3

3 = y - 1 → y = 4

A 1 = 3 ,   4   n o   x y

A 2 = 0 ,   - 3   n o   x ' y '

0 = x - 3 → x = 3

- 3 = y - 1 → y = - 2

A 2 = 3 ,   - 2   n o   x y

Pronto!! Agora sim achamos os parâmetros no x y . Só falta fazer o esboço!!

Resposta

C = 3 ,   1 ,   F 1 = 3 ,   1 + 13 ,   F 2 = 3 ,   1 - 13 ,   A 1 = 3 ,   4 ,   A 2 = 3 ,   - 2  

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