Exercícios Resolvidos de Hipérboles

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Enunciado

Determine as equações de todas as hipérboles que têm distância focal 10 e cujas assíntotas são as retas y = ± 2 x .

Passo 1

Como as assíntotas se intersectam na origem e são simétricas em relação aos eixos, as hipérboles estarão em posição canônica, centradas na origem.

As assíntotas da hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 são y = ± b a x e as assíntotas da hipérbole - x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 são y = ± a b x .

Temos que 2 c = 10 → c = 5 e c 2 = a 2 + b ² .

Para a primeira, temos que b a = 2 → b = 2 a , daí temos que

5 2 = a 2 + ( 2 a ) ²

a 2 = 5

b 2 = 2 a 2 = 20

Logo, essa hipérbole é x 2 5 - y 2 20 = 1

Para a segunda hipérbole, a b = 2 → a = 2 b

5 2 = 2 b 2 + b ²

b 2 = 5

a 2 = 20

Logo, essa segunda hipérbole é - x 2 5 + y 2 20 = 1

Por fim, temos isso aqui

Onde a reta verde é y = + 2 x e a reta vermelha é y = - 2 x .

Resposta

x 2 5 - y 2 20 = 1 e - x 2 5 + y 2 20 = 1

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