Exercícios Resolvidos de Hipérboles

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Enunciado

Considere a hipérbole de equação

x 2 - 4 y 2 - 4 x + 24 y - 28 = 0

Determine

a) As coordenadas de seus vértices A 1 e A 2 .

b) As coordenadas de seus focos F 1 e F 2 .

c) As equações de suas assíntotas l 1 e l 2 .

Passo 1

Primeiro vamos brincar com a equação dessa hipérbole. Completando os quadrados vamos ter

x 2 - 4 x + 4 - 4 y 2 - 24 y + 36 - 28 = 4 - 36

x - 2 2 - 4 y 2 - 6 y + 9 = - 4

x - 2 2 - 4 y - 3 2 = - 4

Dividindo tudo por - 4 :

- x - 2 2 4 + y - 3 2 1 = 1

Os parâmetros geométricos da hipérbole, então, são a = 1 , b = 4 = 2 e c = 5 . O centro dela é o ponto C = ( 2 ,   3 ) (como vemos pela equação, ela não está centrada na origem) e seu eixo focal é paralelo ao eixo y , que está positivo.

Passo 2

a) As coordenadas de x nos vértices vão ser as mesmas que as de x no centro, pois o eixo focal é paralelo ao eixo y . Já as coordenadas de y vão ser C y + a e C y - a , onde C y é a coordenada de y em C .

Logo, os vértices são V 1 = ( 2 ,   4 ) e V 2 = ( 2 ,   2 ) .

Passo 3

b) As coordenadas de x nos focos também vão ser as mesmas que as de x no centro, pois o eixo focal é paralelo ao eixo y . Já as coordenadas de y vão ser C y + c e C y - c .

Logo, os focos são F 1 = ( 2 ,   3 + 5 ) e F 2 = ( 2 ,   3 - 5 ) .

Passo 4

c) Igualando a equação da hipérbole a 0 , temos

- x - 2 2 4 + y - 3 2 1 = 0

Vamos fatorar isso:

x - 2 2 + y - 3 1 . - x - 2 2 + y - 3 1 = 0

Resolvendo a parte esquerda:

x - 2 2 + y - 3 1 = 0

l 1 :   y - 3 = - x - 2 2

Resolvendo a parte direita:

- x - 2 2 + y - 3 1 = 0

l 2 : y - 3 = x - 2 2

Abaixo temos o esboço da hipérbole e suas respectivas assíntotas em rosa

Resposta

a) V 1 = ( 2 ,   4 ) e V 2 = ( 2 ,   2 )

b) F 1 = ( 2 ,   3 + 5 ) e F 2 = ( 2 ,   3 - 5 )

c) l 1 :   y - 3 = - x - 2 2 e l 2 : y - 3 = x - 2 2

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