Exercícios Resolvidos de Hipérboles

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Enunciado

Determine os vértices, os focos, a excentricidade e = c a e as assíntotas das hipérboles dadas a seguir. Faça um esboço.

  1. 25 x 2 - 144 y 2 = 3600
  2. 16 x 2 - 25 y 2 = 400
  3. y 2 - x 2 = 16
  4. 9 y 2 - 4 x 2 = 36
  5. 3 x 2 - y 2 = 3

Passo 1

Opa!! Vamos começar a fazer exercícios com hipérboles?!

Nosso exercício consiste em determinarmos os elementos: vértices, focos. Excentricidade e as assíntotas da hipérboles. Bora começar!!!

Passo 2

a) 25 x 2 - 144 y 2 = 3600

Em todas a cônicas o primeiro passo é deixar em uma das formas reduzidas para conseguirmos retirar os elementos. Vamos fazer isso, então:

25 x 2 - 144 y 2 = 3600

Dividindo tudo por 3600

x 2 144 - y 2 25 = 1

Chegamos na forma canônica do CASO 1.

Assim, conseguimos retirar os valores de a e b .

a 2 = 144 → a = 12

b 2 = 25 → b = 5

Para acharmos o valor de c vamos utilizar a seguinte relação:

c 2 = a 2 + b 2

c = 144 + 25 = 169 → c = 13

Como estamos no CASO 1, teremos a seguinte figura:

Assim, nosso focos e vértices serão:

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0

As assíntotas serão:

y = ± b a x

E por fim, a excentricidade:

e = c a

Substituindo os valores, teremos:

F 1 = - 13 ,   0 ,   F 2 = 13 ,   0 ,   A 1 = - 12 ,   0 ,   A 2 = 12 ,   0

y = ± 5 12 x

e = 13 12

Fazendo um esboço, temos:

Passo 3

b) 16 x 2 - 25 y 2 = 400

Mesmo procedimento do item anterior:

16 x 2 - 25 y 2 = 400

Dividindo tudo por 400 :

x 2 25 - y 2 16 = 1

Estamos novamente no CASO 1. Então, teremos:

a = 5

b = 4

c 2 = a 2 + b 2

c = 41

Então, nossos vértices, focos, assíntotas e excentricidade serão:

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0

y = ± b a x

e = c a

Subsituindo os valores:

F 1 = - 41 ,   0 ,   F 2 = 41 ,   0 ,   A 1 = - 5 ,   0 ,   A 2 = 5 ,   0

y = ± 4 5 x

e = 41 5

Esboçando:

Passo 4

Passo 5

c) y 2 - x 2 = 16

Mesma coisa dos itens anteriores!! Então, dividindo tudo por 16 , temos:

y 2 16 - x 2 16 = 1

Agora, diferentemente dos outros dois itens estamos no CASO 2. Com a equação na forma reduzida conseguimos retirar os valores de a e b e ainda achar c pela relação c 2 = a 2 + b 2 .

a = 4 = b

c = 32 = 4 2

Como estamos no CASO 2 temos a seguinte figura:

Então, nossos focos, vértices, assíntotas e excentricidade serão:

F 1 = 0 ,   - c ,   F 2 = 0 ,   c ,   A 1 = 0 ,   - a ,   A 2 = 0 ,   a

y = ± a b x

e = c a

Substituindo os valores, temos:

F 1 = 0 ,   - 4 2 ,   F 2 = 0 ,   4 2 ,   A 1 = 0 ,   - 4 ,   A 2 = 0 ,   4

y = ± x

e = 2

Esboçando:

Passo 6

d) 9 y 2 - 4 x 2 = 36

Estamos novamente no CASO 2.Vamos achar então todos os parâmetros como fizemos antes:

y 2 4 - x 2 9 = 1

Retirando os valores das constantes:

a = 2

b = 3

c 2 = a 2 + b 2

c = 13

Sabemos do item anterior que nossos parâmetros, são:

F 1 = 0 ,   - 13 ,   F 2 = 0 ,   13 ,   A 1 = 0 ,   - 2 ,   A 2 = 0 ,   2

y = ± 2 3 x

e = 13 2

Esboçando,

Passo 7

Ufaaa!! Está quase terminando, força!! Só falta mais esse item ;)

e) 3 x 2 - y 2 = 3

Voltamos para o CASO 1.

x 2 1 - y 2 3 = 1

a = 1

b = 3

c = 2

Dos dois primeiros itens e da teoria sabemos que:

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0

y = ± b a x

e = c a

Subsituindo os valores encontrados, temos:

F 1 = - 2 ,   0 ,   F 2 = 2 ,   0 ,   A 1 = - 1 ,   0 ,   A 2 = 1 ,   0

As assíntotas serão:

y = ± 3 x

E por fim, a excentricidade:

e = 2

Para terminar, esboço:

Resposta

a) F 1 = - 13 ,   0 ,   F 2 = 13 ,   0 ,   A 1 = - 12 ,   0 ,   A 2 = 12 ,   0

y = ± 5 12 x

e = 13 12

b) F 1 = - 41 ,   0 ,   F 2 = 41 ,   0 ,   A 1 = - 5 ,   0 ,   A 2 = 5 ,   0

y = ± 4 5 x

e = 41 5

c) F 1 = 0 ,   - 4 2 ,   F 2 = 0 ,   4 2 ,   A 1 = 0 ,   - 4 ,   A 2 = 0 ,   4

y = ± x

e = 2

d) F 1 = 0 ,   - 13 ,   F 2 = 0 ,   13 ,   A 1 = 0 ,   - 2 ,   A 2 = 0 ,   2

y = ± 2 3 x

e = 13 2

e) F 1 = - 2 ,   0 ,   F 2 = 2 ,   0 ,   A 1 = - 1 ,   0 ,   A 2 = 1 ,   0

y = ± 3 x

e = 2

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