Exercícios Resolvidos de Hipérboles

Ver Teoria

Enunciado

Seja l o lugar geométrica dos pontos P ( x ,   y ) do plano cujas coordenadas x e y satisfazem

4 x 2 - 8 x - 9 y 2 + 6 y - 1 = 0

  1. Qual o tipo da cônica l ? Escrever a equação canônica de l .
  2. Encontrar os focos, os vértices e a excentricidade de l . No caso de hipérbole, encontrar também as equações das assíntotas no sistema O x y .

Passo 1

Temos uma expressão que é a expressão de alguma das três cônicas que vimos: parábola, elipse ou hipérbole. No primeiro item devemos identificar a cônica e escrever a equação na forma canônica( ou reduzida). Já no segundo item devemos encontrar todos os elementos da cônica, como fizemos nos exercícios anteriores.

Passo 2

a) Para identificarmos a cônica vamos completar quadrados e ver com qual cônica expressão se assemelha.

4 x 2 - 8 x - 9 y 2 + 6 y - 1 = 0

4 x 2 - 2 x - 9 y 2 - 2 3 y - 1 = 0

4 x - 1 2 - 4 - 9 y - 1 3 2 + 1 - 1 = 0

4 x - 1 2 - 9 y - 1 3 2 = 4

Dividindo tudo por 4 :

x - 1 2 1 - y - 1 3 2 4 9 = 1

Bom, analisando a equação temos uma hipérbole!!

Para deixar a expressão numa forma reduzida, vamos fazer uma mudança de coordenadas de tal forma, que:

x ' = x - 1

y ' = y - 1 3

Então, teremos:

x ' 2 1 - y ' 2 4 9 = 1   ( 1 )

Item a está feito!!

Passo 3

b) Focos, vértices, excentricidade e como é uma hipérbole, as assíntotas!!

Como podemos notar do item a estamos no CASO 3, ou seja, na translação. Como já fizemos uma mudança de coordenadas para o sistema x ' y ' vamos achar os parâmetros nesse sistema como no CASO 1 e depois passamos para o sistema x y .

Da expressão ( 1 ) , tiramos os valores de a e b .

a = 1

b = 2 3

O valor de c achamos com a relação c 2 = a 2 + b 2 :

c = 1 + 4 9 → c = 13 3  

Como estamos no CASO 1 em x ' y ' , temos a seguinte figura:

Teremos, então nossos vértices em x ' y '

- a ,   0   e   a ,   0

- 1 ,   0   e   1 ,   0   n o   x ' y '

Nossos focos:

- c ,   0   e   c ,   0

- 13 3 ,   0   e   13 3 ,   0   n o   x ' y '

As assíntotas em x ' y ' são:

y ' = ± b a x '

y ' = ± 2 3 x '

Por fim a excentricidade:

e = c a = 13 3

Achamos tudo o que precisávamos, MAS em x ' y ' e nossa resposta deve ser em x y . Para isso, vamos utilizar as relações:

x ' = x - 1

y ' = y - 1 3

Para muda para o sistema x y

Vértices:

- 1 ,   0   n o   x ' y '

- 1 = x - 1 → x = 0

0 = y - 1 3 → y = 1 3

0 , 1 3 n o   x y

1 ,   0   n o   x ' y '

1 = x - 1 → x = 2

0 = y - 1 3 → y = 1 3

2 , 1 3   n o   x y

Focos:

- 13 3 ,   0 n o   x ' y '

- 13 3 = x - 1 → x = 1 - 13 3

0 = y - 1 3 → y = 1 3

1 - 13 3 , 1 3   n o   x y

13 3 ,   0   n o   x ' y '

13 3 = x - 1 → x = 1 + 13 3

0 = y - 1 3 → y = 1 3

1 + 13 3 , 1 3   n o   x y

Assíntotas:

y ' = ± 2 3 x '

y - 1 3 = ± 2 3 ( x - 1 )

E a excentricidade não muda já que não depende de x ,   y ,   x ' ,   y ' :

e = 13 3

Uhullll!!! Terminamos!!

Resposta

V é r t i c e s :   0 , 1 3 , 2 , 1 3

F o c o s :   1 - 13 3 , 1 3   ,   1 + 13 3 , 1 3  

A s s í n t o t a s :   y - 1 3 = ± 2 3 ( x - 1 )

E x c e n t r i c i d a d e :   13 3

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Centro C ( 2 , - 3 ) , eixo real paralelo a O y e passando por ( 3 , - 1 )
Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Focos F 1 - 1 , - 5 eF 2 ( 5 , - 5 ) e que seja hipérbole equilátera.
Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Vértices A 1 - 3 , - 4 e A 2 ( - 3,4 ) e que seja hipérbole equilátera.
Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Centro C ( - 2,1 ) , eixo real paralelo a O x e passando por ( 0,2 ) e ( -
Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico. 9 x 2 - 4 y 2 - 18