Calcule a integral

I = ∫ 0 1 ∫ e x e x e y ( ln ⁡ y )   2 d y d x

Passo 1

E aí, preparado para continuar nossos estudos? Então vamos lá!

Deveríamos começar a questão pela integral de dentro ∫ e x e x e y ( ln ⁡ y )   2 d y , mas ela parece ser muito complicada.

Muitas vezes, quando você não tem a menor ideia de como calcular uma integral dupla, é uma boa tentar mudar a ordem de integração. É o que faremos aqui.

Primeiro, vamos esboçar a região em questão. Perceba que a exponencial e x corta o eixo y em 1 (pois e 0 = 1 ) e que e x = e para x = 1 . O domínio da integral é essa área entre a curva azul e a vermelha.

Passo 2

Agora vamos reescrever essa região como tipo II, ou seja, y vai variar em relação à números e x vai estar variando em relação à de funções de y . Pelo próprio gráfico, vemos que y varia entre 1 e e (a reta azul), portanto

1 ≤ y ≤ e

Já o valor de x varia entre 0 e a reta vermelha, vamos escrevê-la, então, em função de y :

y = e x

Para deixar x   sozinho, vamos fazer a função l n dos dois lados, ficando com

ln ⁡ y = ln ⁡ e x

Como a função l n e e são funções inversas, elas se anulam, então ficamos com:

x = ln ⁡ y

Então, temos x variando

0 ≤ x ≤ l n ⁡ y

Nosso domínio será, então:

D = { ( x , y ) | 1 ≤ y ≤ e ; 0 ≤ x ≤ ln ⁡ y }

Passo 3

Podemos, então, reescrever a integral da seguinte forma:

∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ y x e y ( ln ⁡ y )   2 d x d y

Perceba que a integral ficou muito mais simples agora. 😊

Passo 4

Vamos, agora, integrar em relação a x :

∫ 0 ln ⁡ y x e y ( ln ⁡ y )   2 d x

Podemos tirar tudo que não é x da nossa integral, porque como estamos integrando em relação a x vai ser considerado como constante, então temos

e y ln ⁡ y 2 ∫ 0 ln ⁡ y x   d x

Integrando isso temos

e y ln ⁡ y 2 x 2 2 0 ln ⁡ y

Substituindo temos

e y ln ⁡ y 2 ⋅ ln ⁡ y 2 - 0 2 2

Que é a mesma coisa que

e y ln ⁡ y 2 ⋅ ln ⁡ y 2 2

Podemos cortar os ln ⁡ y 2 e temos

e y 2

Show, ficou mais bonitinho

Passo 5

Agora vamos pegar esse resultado e aplicar na integral de fora

∫ 1 e e y 2 d y

Integrando em relação à y , temos:

= e y 2 1 e =

Substituindo os valores dos limites de integração, ficamo com

( e e - e 1 ) 2

Como e 1 = e , podemos escrever o nosso resultado como

( e e - e ) 2

Resposta

( e e - e ) 2

Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 2

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