Use integral dupla para calcular a área da região limitada por:

y^2 = -x, x - y = 4, y = -1, e y = 2

Passo 1

Faaaaaaaaaala ai!! Vamos continuar nossos estudos?

Pois bem! Em problemas como esse devemos sempre começar fazendo um esboço da região. Mas não se preocupe, pois fazer isso significa colocar no plano X Y todas as curvas dadas. Vamos começar aqui colocando as mais simples primeiro: x - y = 4 , y = - 1 e y = 2 .

A primeira, x - y = 4 , nada mais é do que uma reta, afinal de contas

  x - y = 4         →             y = x - 4

Quanto a segunda, y = - 1 , e a terceira y = 2 , são duas retas também, mas são retas paralelas ao X

Bem...! Em relação à última equação y 2 = - x , estamos falando de uma parábola

x = - y 2

Mas cuidado! Pois essa parábola é uma parábola ao redor de x e não em y como estamos acostumados. Além disso, como y 2 é negativo, sua concavidade é para a esquerda:

O legal é que já dá pra ver que região (chamaremos de R ) estamos trabalhando! :D

Agora temos que descrever essa região, e vamos fazer isso descrevendo em uma região do tipo 2 .

Passo 2

Nesse tipo de região, devemos ter que y varia em um intervalo numérico bem definido.

O que nessa região é tranquilinha verificar apenas observando a imagem que

- 1 ≤ y ≤ 2

Passo 3

Bem...! Quanto à variação do x dentro dessa região, ele entra na equação na curva vermelha...

e sai na reta azul

Ou seja

C u r v a   v e r m e l h a ≤ x ≤ R e t a   a z u l

- y 2 ≤ x ≤ 4 + y

Passo 4

A área de uma região R é dada desse jeitinho aqui:

A = ∬ R   1   d A

como a região acabamos de descrevê-la

- 1 ≤ y ≤ 2

- y 2 ≤ x ≤ 4 + y

Podemos simplesmente substituir na integral dupla, desse jeitinho aqui:

∫ - 1 2 ∫ - y 2 4 + y 1   d x d y

Bora resolver essa integral aí?

Passo 5

Primeiro calculemos a integral de dentro...

∫ - 1 2 ∫ - y 2 4 + y 1   d x d y = ∫ - 1 2 ∫ - y 2 4 + y 1   d x d y =

∫ - 1 2   x - y 2 4 + y d y =

Substituindo os limites de integração em x , temos que:

∫ - 1 2 4 + y - - y 2   d y =

∫ - 1 2 4 + y + y 2   d y =

Calculando essa integral...

4 y + y 2 2 + y 3 3 - 1 2 =

substituindo os limites encontramos...

4 2 + 2 2 2 + 2 3 3 - 4 - 1 + - 1 2 2 + - 1 3 3

Ficamos então com:

8 + 4 2 + 8 3 - - 4 + 1 2 - 1 3 =

Ajeitando isso, temos:

12 + 3 2 + 9 3 =

Que fica

15 + 3 2 Que nos dá

30 2 + 3 2

33 2

Resposta

33 2

Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 2

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